Víctor Álvarez Aparicio ha obtenido el grado de doctor por la Universidad de La Rioja tras la defensa de su tesis doctoral titulada 'Kaleidoscopic decomposition, classification of finite branched coverings of the sphere and path-lifting algorithms’, con la que ha logrado la calificación de sobresaliente ‘cum laude’.
Desarrollada en el Departamento de Matemáticas y Computación –en el marco del programa 782D Doctorado en Matemáticas y Computación (Real Decreto 99/2011)– esta tesis ha sido dirigida por Luis Javier Hernández Paricio, María Teresa Rivas Rodríguez y José Manuel Gutiérrez Jiménez.
En su tesis doctor, Víctor Álvarez Aparicio se planteaba dos objetivos. Por un lado, estudiar las cubiertas ramificadas finitas de la esfera de Riemann –una representación geométrica que añade un punto en el infinito al plano complejo, permitiendo tratar divisiones por cero y funciones racionales de forma continua–, para lo que presenta aportaciones originales con respecto a su estructura y propiedades, con un interés particular en las funciones racionales y los polinomios.
Por otro lado, el doctor Álvarez Aparicio emplea los resultados novedosos introducidos en su tesis para diseñar e implementar nuevos algoritmos de levantamiento de caminos de carácter numérico.
El doctor Álvarez Aparicio emplea los resultados novedosos introducidos en su tesis para diseñar e implementar nuevos algoritmos de levantamiento de caminos de carácter numérico
En su investigación doctoral, Víctor Álvarez Aparicio estudia las cubiertas ramificadas finitas entre superficies de Riemann compactas, introduciendo una descomposición canónica original de este trabajo, llamada descomposición caleidos\-cópica, que es empleada para analizar algunos de sus aspectos topológicos, como la monodromía o la regularidad.
Además, estudia las funciones racionales y los polinomios como cubiertas ramificadas de la esfera de Riemann adoptando un enfoque novedoso basado en grupoides combinatorios finitos, que permite probar nuevos resultados referentes a algunas de sus propiedades topológicas (como la monodromía o el grupo de automorfismos), caracterizar su regularidad en términos algebraicos sencillos, y analizar y relacionar distintas nociones de clasificación.
Como consecuencia de dicho estudio, el doctor Álvarez Aparicio ha diseñado nuevos algoritmos basados en propiedades de levantamiento de caminos de las funciones racionales y polinomios, con diversos propósitos como la aproximación de raíces, el cálculo de la acción de monodromía, o la descripción del grupo de automorfismos.
La implementación de estos algoritmos es estudiada a través de dos casos de uso, cuyos resultados motivan la exploración de algunos aspectos numéricos de los métodos de levantamiento de caminos considerados.
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