Rodrigo Iglesias González ha obtenido el grado de doctor por la Universidad de La Rioja tras la defensa de su tesis doctoral titulada The Combinatorics of Involutive Bases: Theory, algorithms and applications que le ha valido la calificación de sobresaliente ‘cum laude’ con mención internacional al título.
Desarrollada en el Departamento de Matemáticas y Computación –en el marco del programa Doctorado en Matemáticas y Computación (Real Decreto 99/2011)– esta tesis ha sido dirigida por Eduardo Sáenz de Cabezón Irigaray y Werner M. Seiler, de la Universitat Kassel.
En su tesis, el doctor Iglesias González realiza un estudio a fondo de los ideales monomiales y otras estructuras relacionadas en álgebra conmutativa. Su principal herramienta para explorar las conexiones entre estos objetos algebraicos y la combinatoria son las bases involutivas, junto con otros tipos de bases de Gröbner que exhiben propiedades combinatorias adicionales.
En particular, las propiedades combinatorias de dichas bases permiten obtener aplicaciones en áreas como la fiabilidad de sistemas, la teoría de invariantes topológicos y algebraicos, entre otras.
Los ideales monomiales han sido ampliamente estudiados desde diversas perspectivas. Un aspecto particularmente importante de estos objetos es su papel en facilitar el intercambio de información entre el álgebra conmutativa y la combinatoria.
Significativamente, los ideales monomiales –y, en algunos casos, ciertos ideales polinomiales– pueden asociarse con grafos o complejos celulares, creando un puente entre sus propiedades algebraicas y combinatorias.
En esta tesis, utiliza bases involutivas para establecer una conexión entre ideales polinomiales y grafos o complejos celulares, construyendo así dichos puentes.
En su tesis, el doctor Iglesias utiliza bases involutivas para establecer una conexión entre ideales polinomiales y grafos o complejos celulares, construyendo así dichos puentes
Otro enfoque para el estudio de ideales monomiales es a través del concepto algebraico de las álgebras de Rees. La relación entre los ideales monomiales y las álgebras de Rees es un tema importante en el álgebra conmutativa y la geometría algebraica.
El álgebra de Rees de un ideal monomial es un álgebra con una estructura combinatoria rica que codifica información sobre las potencias del ideal y las sizigias de cada una de sus potencias. De hecho, obtener una descripción explícita de estos objetos suele ser esquivo y difícil de determinar.
Como resultado, el campo de la investigación se centra típicamente en clases de ideales con mucha estructura algebraica, particularmente aquellos para los cuales ciertas resoluciones libres son bien conocidas.
Estas características hacen que las álgebras de Rees sean adecuadas para su análisis dentro del marco combinatorio de las bases involutivas.
En este trabajo, el doctor Iglesias González explora estos objetos desde una nueva perspectiva, extendiendo trabajos previos y abriendo la puerta a avances futuros en el área.
Finalmente, plantea aplicaciones de los ideales monomiales y las bases involutivas en el campo de la fiabilidad de sistemas.
Para mejorar la eficiencia de sus métodos, realiza un análisis exhaustivo del rendimiento de diversos algoritmos para el cálculo de bases involutivas y tipo-involutivas de ideales monomiales.
Por último, compara algoritmos existentes con los que hemos desarrollado, utilizando para ello el sistema de álgebra computacional CoCoALib en C++.
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