Al trabajar con estructuras algebraicas es interesante conocer las propiedades que verifican para poder clasificarlas. A investigar estas propiedades y a clasificar diferentes familias de álgebras han dedicado su tiempo matemáticos de todas las épocas, utilizando las herramientas disponibles en cada momento.
La investigación doctoral de Clara Jiménez se ha centrado en una nueva herramienta, las Derivaciones Ternarias -que extiende la idea de derivación que se venía empleando para clasificar ciertos tipos de álgebras- y un conjunto, el Núcleo Alternativo Generalizado, muy relacionado con ellas.
Para saber si esta nueva herramienta es útil, necesitabs comprobar si las clasificaciones que obtenemos son compatibles con las que se obtenían con las herramientas anteriores, y si de algún modo «refinan» estas clasificaciones, y hemos comenzado esta comprobación del modo más natural, con las álgebras conceptualmente «más sencillas»: las álgebras de Cayley–Dickson generalizadas y las álgebras de división reales de dimensión finita.
La tesis se inicia estudiando las álgebras de cayley-Dickson generalizadas. Cuando se aplica el proceso de duplicación de Cayley-Dickson partiendo de A_0=F (cuerpo de característica distinta de cero), se obtiene una extensión cuadrática separable de F, A_1; en el segundo paso un álgebra de cuaternios generalizada A_2; después un álgebra de octoniones generalizada A_3; después de este paso aparecen las álgebras A_t de dimensión 2^t, que se llaman álgebras de Cayley-Dickson generalizadas.
En su estudio, la doctora Jiménez, basándose en el trabajo de K. McCrimon para derivaciones, calcula las álgebras de derivación ternarias de las álgebras A_t obtenidas mediante el proceso de duplicación de Cayley–Dickson para cuerpos de característica distinta de 2.
Respecto a las álgebras de derivaciones un conocido resultado de Schafer establece que sobre cuerpos de característica distinta de 2 y 3, el álgebra de Lie de derivaciones, Der(A_t)= Der(A_3) cuando t es mayor que 3. Aunque A_3 y A_t (t> 3) comparten la misma álgebra de derivaciones es A_3 la que aparece más a menudo en la literatura con mucha diferencia. Al contrario de lo que pasa con Der(A_t), en el paso de t=3 a t=4, el álgebra de Lie de derivaciones ternarias, Tder(A_t), no permanece invariante: ¡decrece! Es a partir de t=4 cuando se estabiliza.
Los resultados obtenidos para Tder(A_t) revelan que «cierta simetría» de los octoniones se pierde cuando hacemos el proceso de duplicación de Cayley–Dickson más allá de t=3.
En su tesis, la doctora Jiménez también introduce la noción de automorfismo ternario de A y determinamos los automorfismos ternarios de A_t cuando t es mayor o igual que 4 y la característica del cuerpo es distinta de 2 y 3.
En los casos en que este núcleo posee dimensión mayor o igual que dos, el álgebra de división empieza a acercarse a álgebras obtenidas por el proceso de duplicación de Cayley-Dickson. Así, se obtienen clasificaciones cuando la dimensión de este núcleo es al menos la mitad de la dimensión del álgebra ambiente.
En caso de que la dimensión sea menor es conveniente imponer alguna condición algebraica extra tal como la flexibilidad o incluso la asociatividad de las terceras potencias para obtener resultados concretos.
