Manuel Aurelio Diloné Alvarado ha obtenido el título de doctor por la Universidad de La Rioja tras la defensa de su tesis Métodos iterativos aplicados a la ecuación de Kepler, dirigida por José Manuel Gutiérrez.
La resolución de ecuaciones no lineales constituye un aspecto fundamental del estudio de cualquier área de las matemáticas. Esta relevancia cobra mayor magnitud si la ecuación en cuestión está identificada como una de las más importantes en el desarrollo de toda una rama del saber: la astronomía, pues con ella se puede determinar la posición de un planeta en un tiempo determinado.
La ecuación en cuestión es la ecuación de Kepler: M=E-e sen E. El problema consiste en encontrar un valor de E una vez conocidos los valores de M y e. En concreto, M es la anomalía media de una órbita elíptica, e es la excentricidad de dicha órbita y E es la anomalía excéntrica. La ecuación de Kepler es de tipo trascendental.
La tesis une dos áreas de las matemáticas como la Astronomía, constituida por la ecuación de Kepler, y el Análisis Numérico, representado por los métodos iterativos de solución de ecuaciones. En ella, el doctor Diloné investiga el comportamiento de la ecuación de Kepler bajo la acción de los métodos unipunto, tales como el método de Newton, Halley, Chebyshev, super Halley y Danby, y de los métodos multipunto, como el método de la Secante, Bisección y Yun-Petkovic.
El Capítulo 1: La ecuación de Kepler, está conformado por una breve descripción histórica del desarrollo y aparición de la misma. Presentamos además, la forma de obtener dicha ecuación y las soluciones geométricas y analíticas que se les ha dado a través del tiempo.
En el Capítulo 2: Métodos iterativos presenta los métodos iterativos mencionados anteriormente. A excepción de los métodos de Yun-Petkovic y Danby, los métodos iterativos están estructurado en tres secciones: notas históricas, descripción del método y convergencia. Los principales aportes de la tesis en este capítulo lo constituyen la demostración de un nuevo teorema de convergencia semilocal para el método de Chebyshev, publicado en Bulletin of the Australian Mathematical Society.
En el Capítulo 3: Métodos iterativos y la ecuación de Kepler se comparan la efectividad de las funciones de iteración de los métodos unipunto y multipunto, cuando, bajo ciertas condiciones iniciales, se aplican a la ecuación de Kepler. Entre las conclusiones obtenidas, se destaca que los peores resultados de convergencia de los métodos unipunto se presentaron cuando se aplicaron a partir de la condición inicial E=M. la cual es ampliamente utilizada en la astronomía. Asimismo se destaca el buen comportamiento observado por los métodos multipunto. En el estudio comparativo de los métodos iterativos aplicados a la ecuación de Kepler se puso de manifiesto la aparición de ciclos o comportamiento caótico. Por ese motivo, en la sección 3.4, nos centramos en encontrar ciclos superatractores de periodo 2, cuando el método de Newton se aplica a la ecuación de Kepler. Dicho análisis fue publicado por la Journal of Advanced Research in Applied Mathematics.
En el Capítulo 4: Resultados de convergencia semilocal para el método de Newton aplicados a la ecuación de Kepler se presenta un novedoso estudio de aplicación de la convergencia semilocal del método de Newton, a partir de los criterios establecidos por Kantorovich, Smale, Gutiérrez y Wang-Zhao. El mismo fue publicado en el libro Una introducción al método de Newton para resolver ecuaciones no lineales, escrito por quien subscribe, y publicado posteriormente por la editorial Nova Science Publishers, Inc.
