Jorge Roldán López ha obtenido el grado de doctor por la Universidad de La Rioja tras la defensa de su tesis ‘Quadratic Lie algebras. Algorithms and (de)constructions’, con la calificación de sobresaliente cum laude y mención internacional al título.
Desarrollada en el Departamento de Matemáticas y Computación –en el marco del programa 782D Doctorado en Matemáticas y Computación (Real Decreto 99/2011)- esta tesis ha sido dirigida por María Del Pilar Benito Clavijo.
Esta tesis estudia las álgebras de Lie cuadráticas, con especial interés en aquellas que son nilpotentes de índice 2, dando métodos algorítmicos para construir una amplia gama de ejemplos.
Después de una introducción y una visión general de los resultados conocidos sobre este tema, el trabajo se inicia con un proceso de deconstrucción que nos permite reducir el estudio de las álgebras de Lie cuadráticas generales a tan solo aquellas nilpotentes. Esta reducción se obtiene deshaciendo sucesivas doble extensiones sobre cocientes, una vez es conocida la ubicación de algunos ideales importantes.
La variedad de álgebras de Lie cuadráticas nilpotentes se puede establecer a partir de las álgebras de Lie nilpotentes libres y sus formas bilineales invariantes. Pero hacerlo es difícil, por lo que este proyecto incide en el caso donde el índice de nilpotencia es 2.
La tesis aborda las álgebras de Lie cuadráticas, con especial interés en aquellas que son nilpotentes de índice 2ia gama de ejemplos
Para ello, presenta un nuevo método para obtener dichas álgebras a través del empleo de técnicas de álgebra multilineal, para luego demostrar que este nuevo método es equivalente a las dos técnicas clásicas principales: dobles extensiones y T∗ -extensiones.
En combinación con trivectores, la tesis plantea una clasificación de estas álgebras hasta dimensión 17. Una vez cubierto el caso nilpotente de índice 2, se inicia la construcción álgebras de Lie cuadráticas más grandes y generales. Esto se logra mediante dobles extensiones usando sus derivaciones antisimétricas, que se pueden describir a través de la propiedad universal para álgebras de Lie nilpotentes libres.
A continuación, aborda la familia de álgebras de Lie cuadráticas con un único ideal maximal: las álgebras locales. Estas tienen propiedades estructurales sólidas e incluyen a la conocida familia de álgebras osciladoras reales, que son las álgebras cuadráticas asociadas a formas métricas Lorentzianas.
La siguiente parte de la tesis está dedicada a la estructura que presentan los ideales de álgebras de Lie cuadráticas, especialmente aquellas cuyos ideales forman una cadena por inclusión. Finalmente, explica cómo usar un paquete computacional que previamente se ha desarrollado. Este software está respaldado por los resultados de la tesis e incluye muchas herramientas utilizadas a lo largo de esta memoria.
JORGE ROLDÁN LÓPEZ
Jorge Roldán López ha contado, para su tesis, con la financiación del proyecto nacional MTM2017-83506- C2-1-P del Ministerio de Economía, Industria y Competitividad del Gobierno de España desde 2017 hasta 2022; del proyecto nacional PID2021-123461NB- C21, financiado por MCIN/AEI/10.13039/501100011033 y por 'ERDF A way of making Europe' desde 2023 en adelante; y con un contrato predoctoral FPI-2018 de la Universidad de La Rioja, así como las ayudas ATUR18/43, ATUR19/40 y ATUR21/34 de la misma universidad.
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