Nutación del giroscopio

Volvamos a considerar el movimiento del giroscopio cuando su eje está horizontal. Lo que hemos visto es que inicialmente tenemos el giroscopio en equilibrio, es decir, con su centro de masas sobre el punto de apoyo O, girando sobre su eje que está horizontal; a continuación colocamos la pesa A que desequilibra al giroscopio llevando el centro de masas fuera del punto de apoyo, y por ello el peso tiene ahora momento con respecto a tal punto de apoyo. El efecto de este momento del peso es hacer que el eje del giroscopio preceda en un plano horizontal sin cambiar su inclinación. Quizás en la discusión anterior sobre la precesión hayas tenido la sensación de que hay algo que no termina de encajar: todos estamos acostumbrados a que el efecto de la gravedad cuando un sistema deja de estar en equilibrio es que se caiga hacia abajo. Y sin embargo el giroscopio no hace nada parecido (al menos a primera vista) sino que se desplaza horizontalmente.

Este es el problema: la energía cinética de rotación del giroscopio debida al giro del disco alrededor de su eje no varía cuando colocamos la pesa A y soltamos el giroscopio, puesto que el momento del peso es perpendicular al momento angular. Y sin embargo, después de soltarlo, el giroscopio precede, con lo que su energía cinética total ha aumentado en la cantidad debida a la traslación del centro de masas (que como recordarás al no estar sobre el punto de apoyo se mueve junto con el eje). La cuestión es de dónde ha salido esa energía ``de más''.

El origen del problema no es la aproximación explicada en el cuadro de más arriba: la de que podemos despreciar cualquier componente del momento angular que no sea paralela al eje del giroscopio, siempre y cuando el disco del giroscopio sea grande y rote muy rápido. Esta aproximación está bien justificada.

Observemos otra vez con más detenimiento el movimiento de precesión del giroscopio cuando lo soltamos: el eje del giroscopio, que estaba horizontal cuando se sujetaba, desciende o asciende ligeramente al soltarlo.

Movimiento de precesión (2).

Este descenso/ascenso del eje siempre es de forma que descienda la pesa A que desequilibra al giroscopio; o lo que es lo mismo, de forma que el centro de masas del sistema (que está en el lado del eje donde se ha colocado la pesa A) pierda ligeramente en altura. Y además este ligero descenso del centro de masas se mantiene durante todo el movimiento de precesión (el cabeceo que también muestra el giroscopio a la vez que precede lo estudiaremos enseguida). Es precisamente lo que se pierde en energía potencial debido a la ligera bajada del centro de masas lo que se ``invierte'' en el aumento de energía cinética del sistema al obtener el centro de masas, con motivo de la precesión, una velocidad de traslación que no tenía inicialmente.

Luego la gravedad sí que hace descender, aunque sólo sea muy poco y al inicio, la pesa y el centro de masas. Este descenso no sólo es necesario para que la energía total del sistema se conserve, sino que además asegura que el momento angular en la dirección vertical -- dirección en la que no hay ningún momento de fuerzas, ni siquiera el momento del peso actúa en tal dirección -- se conserve también.

Inicialmente, cuando sujetamos el eje del giroscopio en posición horizontal, el momento angular está también en posición horizontal. Sin embargo, cuando el giroscopio precede, el sistema ha adquirido una velocidad angular en torno a un eje vertical que pasa por el punto de apoyo O: ha adquirido un momento angular en la dirección vertical. Por ejemplo, supongamos tal y como aparece en la figura anterior que la pesa A la hemos colocado en el extremo opuesto al disco, de forma que el movimiento de precesión es con el disco del giroscopio ``saliendo'' de la página hacia nosotros. El momento angular debido a la precesión (en color magenta) lleva dirección vertical y apunta hacia abajo (acuérdate de la regla de la mano derecha). Si ahora el eje del giroscopio desciende ligeramente de forma que el centro de masas esté más abajo que la línea horizontal, entonces el momento angular debido al giro del disco sobre su eje (en color azul) apunta ligeramente hacia arriba. En otra palabras, el momento angular del disco tiene ahora una pequeña componente vertical hacia arriba que compensa al momento angular debido a la precesión. De esa forma, el momento angular total en la dirección vertical es cero, tal y como lo era antes de soltar el giroscopio.

De aquí podemos calcular el ángulo $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$ que desciende el centro de masas: cuando el momento angular, debido al giro del giroscopio en torno al eje del disco, asciende el pequeño ángulo $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$, su componente vertical es igual a ${L_{\scriptscriptstyle \rm vertical}=L\,\,{\rm sen}\,\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec} \approx L\,\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}}$, usando que, para un ángulo muy pequeño, su seno se puede aproximar por el ángulo directamente. La componente horizontal del momento angular es prácticamente igual en módulo al momento angular completo, ya que ${\cos\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}\approx 1}$: con ello, toda la discusión que se realizó en la sección anterior (en donde no se tenía en cuenta que el eje del giroscopio inicialmente horizontal podía inclinarse ligeramente) sigue siendo válida. Por lo tanto, igualando la componente vertical del momento del giro del disco con el momento angular que adquiere el giroscopio debido a la precesión

$$L_{\scriptscriptstyle \rm vertical}= \left[\left(\raisebox{3... ...:vertical\:por\:}O}\, \Omega_{\scriptscriptstyle \rm prec}\, ,$$

se obtiene el ángulo $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$

$$\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}=\frac{\left(\raisebox{3.... ...{\scriptscriptstyle \rm eje\:giroscopio}\,\omega\right]^2}\, ,$$ (20)

donde ${\left(\raisebox{3.5mm}{} I_{\scriptscriptstyle \rm giroscopio}\right)_{\scriptscriptstyle {\rm eje\:vertical\:por\:}O}}$ es el momento de inercia del sistema con respecto al eje vertical que pasa por el punto de apoyo O. Vemos que, como era de esperar por como se mueve el giroscopio, la inclinación $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$ del eje del giroscopio inicialmente horizontal es muy pequeña: de acuerdo con la situación general para el giroscopio que hemos visto en el cuadro de más arriba, el momento de inercia del sistema con respecto al eje del disco, ${\left(\raisebox{3.5mm}{}I_{\scriptscriptstyle \rm disco}\right)_{\scriptscriptstyle \rm eje\:giroscopio}}$, es mucho mayor que con respecto a cualquier eje (incluido el vertical); y, además, la velocidad angular $\omega$ del disco es grande.

Esta pequeña inclinación del eje para hacer posible la precesión es independiente de la inclinación inicial que tenga el eje. Si antes de soltar el giroscopio, su eje forma un ángulo $\gamma$ con la vertical tal y como se ve en la figura de más arriba, entonces cuando se suelte y empiece a preceder, el eje se inclinará el ángulo $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$ correspondiente -- aunque la velocidad angular de precesión no depende de la inclinación inicial del eje del giroscopio, el momento de inercia ${\left(\raisebox{3.5mm}{} I_{\scriptscriptstyle \rm giroscopio}\right)_{\scriptscriptstyle {\rm eje\:vertical\:por\:}O}}$ sí que depende --, de forma que la inclinación del eje con respecto a la vertical será, durante la precesión, ${\gamma+\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}}$ o ${\gamma-\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}}$, dependiendo de si la pesa A se coloca junto al disco o en el extremo opeusto.

Y finalicemos ya el estudio del giroscopio. La precesión no es el único movimiento que realiza un giroscopio, cuyo disco está girando a gran velocidad cuando se desequilibra al centro de masas desplazándolo fuera del punto de apoyo O fijo. En general, superpuesto al movimiento de precesión, el giroscopio muestra un movimiento de cabeceo que se denomina nutación. De este movimiento de cabeceo durante la precesi\'on ya te habrás fijado en la película anterior.

La explicación de la nutación tiene mucho que ver con lo que acabamos de ver, sobre la necesidad de que el centro de masas descienda un poco para poder dar cuenta así de la velocidad de traslación que adquiere el centro de masas debida a la precesión. Tomemos el caso en que la pesa A está colocada en el extremo opuesto al eje (ver figura). Inicialmente el eje del giroscopio está horizontal, pero ya sabemos por la discusión anterior que la posición de equilibrio para la precesión es con el eje inclinado un ángulo $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$ (20). Luego, en cuanto soltemos el eje, éste va a empezar a subir para alcanzar tal inclinación. Sin embargo, al alcanzarla, el eje lleva cierta velocidad hacia arriba, y no puede parar instantáneamente, con lo que continúa el movimiento hacia arriba, pero esta vez frenándose ya que ha superado la inclinación $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$ de equilibrio para la precesión. Una vez se pare, está a una inclinación demasiado grande, con lo que empieza a bajar, pasa por la inclinación de equilibrio a una velocidad distinta de cero, y continúa hasta que el eje del giroscopio queda horizontal. Y así sucesivamente.

Esto recuerda mucho al movimiento de un muelle sin masa y de constante elástica K al que se le coloca encima una masa m: el tipo de movimiento, que es armónico simple si lo que se comprime el muelle no es mucho, está representado en la figura de arriba, junto con la energía potencial gravitatoria, potencial elástica y la energía cinética. La posición de equilibrio, a la que va a tender el movimiento si hay alguna amortiguación debida a rozamientos, es aquella en la que el peso de la masa queda equilibrado por la fuerza del muelle comprimido.

En el caso del giroscopio, a la vez que el extremo del eje realiza el cabeceo o nutación que acabamos de describir (y que puede estar amortiguado de haber rozamientos en la articulación del punto de apoyo O), el eje además realiza el movimiento de precesión. La composición de ambos movimientos precesión+nutación hace que el extremo del eje del giroscopio trace una trayectoria que se llama cicloide y está representada en la siguiente figura. La (pequeña) amplitud del movimiento de nutación es el ángulo $\beta_{\scriptscriptstyle \rm prec}$ (20).

La amplitud de la nutación se puede además controlar. El origen de tal amplitud es la necesidad de ajustar la inclinación del eje del giroscopio para que así el centro de masas, que inicialmente estaba en reposo, tenga en el plano paralelo al suelo la velocidad de traslación que le corresponde por la precesión del eje del giroscopio alrededor de un eje vertical que pasa por el punto de apoyo O. Por ello, basta que cuando liberemos el giroscopio, en vez de soltarlo a secas, le demos un pequeño empujón en el sentido que va a tener en la precesión, y así el centro de masas adquiere por el empujón la velocidad de traslación requerida y no necesita inclinar ligeramente el eje. Y con ello, se reduce la nutación; el eliminarla por completo requiere que se ``acierte'' en el empujón que hay que darle inicialmente al eje. Por el contrario, si al soltar el eje del giroscopio le damos el empujón en el sentido contrario al que va a tener la precesión, entonces el eje debe inclinarse no sólo para darle al centro de masas la velocidad de traslación que ya precisaba sin empujón, sino que además esta inclinación deberá ser todavía mayor para compensar el empujón inicial en el sentido equivocado.

En la siguiente película (tamaño: 2.1 MB) se observa cómo se puede reducir el cabeceo o nutació del giroscopio empujando ligeramente el eje horizontal en el sentido de la precesión. Y cómo se acentúa la nutació cuando al eje del giroscopio, y con él al centro de masas, se le empuja en el sentido contrario al de la precesión.

Movimiento de nutación: primero suprimido en parte y luego amplificado.