Precesión del giroscopio

El aparato que vamos a estudiar consta de las siguiente partes:

• Una base con un soporte vertical que sostiene un eje por un punto de apoyo O fijo. Este eje está articulado en O y puede cambiar su inclinación.
• Un disco vertical grande y pesado (para que así su momento de inercia sea grande) que gira en torno a un eje que pasa por su centro. Este disco es el giroscopio.
• Un contrapeso al otro lado del eje para que así el eje se pueda mantener horizontal en equilibrio. Cuando esto ocurre podemos afirmar que el centro de masas (o centro de gravedad) del sistema se halla colocado justo encima del punto O que es el soporte del eje.
• Una pesa A que se colocará en uno u otro de los extermos del eje para que así el centro de masas ya no esté encima de O sino desplazado fuera de la vertical del soporte.

Por ser el disco grande y masivo, el momento de inercia del giroscopio con respecto al eje que pasa por el centro del disco es mayor que con respecto a un eje vertical cualquiera (por ejemplo, el que pasa por el punto de apoyo O y que aparece con línea discontinua en la figura).

Si además nos aseguramos que el disco gira con una velocidad angular $\omega$ muy grande en torno al eje que pasa por el centro del disco, entonces la componente del momento angular que va paralela a este eje es mucho mayor que el resto de las otras componentes de momento angular (acuérdate de que el momento angular, por ser un vector, tiene tres componentes dirigidas cada una a lo largo de tres ejes perpendiculares entre sí), siendo estas componentes por lo tanto despreciables en primera aproximación. Si se cumple entonces que el disco y que $\omega$ son grandes, podemos considerar que el momento angular es prácticamente sólo su componente paralela al eje del giroscopio y con ello que el momento angular es paralelo al vector velocidad angular $\vec{\omega}$ del disco (recuerda la regla de la mano derecha para el vector velocidad angular).

Nota que si, por ejemplo, el eje del giroscopio estuviera horizontal y girara en un plano paralelo al suelo (es decir, en torno a un eje vertical como el de la línea discontinua) a una velocidad angular $\Omega$ que fuera también grande, a pesar de que el momento de inercia del disco con respecto a este eje vertical es bastante menor que con respecto al eje horizontal, sí podría ocurrir que la componente del momento angular (que es el producto del momento de inercia y la velocidad angular) a lo largo de este eje vertical ya no fuera tan despreciable.

Resumiendo:

El porqué de insistir tanto en que el momento angular resulte ser paralelo al eje del giroscopio es algo que, si has entendido el final de la introducción de Mecánica en la sección anterior, ya te lo habrás supuesto: si el momento de las fuerzas exteriores resulta tener dirección perpendicular al eje del giroscopio (como así va a ser para el giroscopio), el módulo del momento angular del sistema va a permanecer constante al ser perpendicular también al momento angular.

Veamos que conclusiones se sacan de esta propiedad. En lo que sigue, la notación ${\left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{R}_{\scriptscriptstyle \rm cm}\right)_O}$ significa el vector de posición del centro de masas medido desde O. Mirando el siguiente dibujo vemos que

si la función del contrapeso era ``colocar'' el centro de masas justo sobre el punto de apoyo fijo O, en el momento que coloquemos la pesa en el extremo junto al disco, este centro de masas se desplaza hacia la derecha, fuera del punto de apoyo. O lo que es lo mismo, el peso del sistema tiene momento con respecto al punto O. El momento de esta fuerza es ${\displaystyle \vec{M}=\left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{R}_{\scriptscriptstyle \rm cm}\right)_O \times \left(m_{\scriptscriptstyle \rm total}\vec{g}\right)}$ y su dirección y sentido aparecen en la figura. De aquí deducimos lo siguiente:

1. Lo primero es que el momento del peso con respecto al punto O peso (que es el único momento que actúa, ya que la fuerza normal que hay en el punto de apoyo O no tiene momento con respecto a tal punto) es perpendicular al momento angular si se cumplen las condiciones que hemos discutido más arriba. Por lo tanto, el peso no es capaz de variar el módulo del momento angular, sino sólo su dirección o su sentido.
2. Lo segundo es que este momento del peso está contenido en un plano paralelo al suelo. Por lo tanto, y de acuerdo con la Ley de Newton para la dinámica de rotación ${\displaystyle \vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}}$ (se sobreentiende en lo que resta que el momento de las fuerzas y el momento angular se miden con respecto a O), la variación ${\Delta\vec{L}=\vec{M}\,\Delta t}$ que va a poder producir este momento del peso, al cabo de un pequeño intervalo de tiempo $\Delta t$, va a ser una variación también contenida en este plano paralelo al suelo. En otras palabras, el momento angular va a cambiar tal y como se ve en la siguiente figura:

   

   con
   

   $$\vec{L}(t+\Delta t)-\vec{L}(t)=\Delta \vec{L}=\vec{M}\,\Delt... ...t(m_{\scriptscriptstyle \rm total}\vec{g}\right)\,\Delta t\, .$$ (17)

   
   
   Debe quedar claro (aunque en la figura por el efecto de la perspectiva no se vea bien) que, en módulo, ${\vec{L}(t+\Delta t)}$ y ${\vec{L}(t)}$ son iguales, como ya sabemos puesto que el momento del peso es perpendicular al momento angular.

Ahora ya podemos calcular el ángulo $\Delta\Theta$ que se va a desplazar el momento angular (y con él el eje del girosopio que está horizontal) debido al momento del peso: para un intervalo de tiempo $\Delta t$ muy pequeño, de forma que $\Delta\Theta$ sea también muy pequeño (mejor dicho, infinitesimal), podemos aproximar el triángulo de la figura anterior a un sector de círculo de radio ${\left\vert\vec{L}(t+\Delta t)\right\vert =\left\vert\vec{L}(t)\right\vert}$ (igualdad que ya sabemos se cumple) y arco ${\left\vert\vec{M}\right\vert\,\Delta t}$. El ángulo $\Delta\Theta$ viene dado entonces por ``arco / radio''

$$\Delta\Theta =\frac{\left\vert\vec{M}\right\vert\,\Delta t}{... ...ight\vert\,m_{\scriptscriptstyle \rm total}g}{L}\,\Delta t\, ,$$

Así el ritmo con el que varía este ángulo con el tiempo, es decir, la velocidad angular con la que el eje del giroscopio (en torno al que está girando el disco) gira a su vez en torno a un eje vertical que pasa por O es igual a

$$\Omega_{\scriptscriptstyle \rm prec}=\frac{\Delta\Theta}{\De... ...\right)_{\scriptscriptstyle \rm eje\:giroscopio} \,\omega}\, ,$$ (18)

con ${\left(\raisebox{3.5mm}{}I_{\scriptscriptstyle \rm disco}\right)_{\scriptscriptstyle \rm eje\:giroscopio}}$ el momento de inercia del disco con respecto al eje del giroscopio.

Al desplazamiento, dentro de un plano paralelo al suelo, del extremo del eje del giroscopio se le llama precesión; y a la velocidad angular (18), velocidad angular de precesión. El sentido de esta precesión lo marca el sentido del momento del peso. De la fórmula obtenida se deduce que:

• Cuanto más se haya desplazado el centro de masas del punto de apoyo O, es decir, cuanto mayor sea $\left(\raisebox{3.5mm}{}R_{\scriptscriptstyle \rm cm}\right)_O$, más rápidamente precede el giroscopio. Esto es algo que ya sabemos para el caso de una bicicleta: cuanto más nos inclinamos, y con ello más separamos nuestro centro de gravedad (el ombligo) de la vertical que pasa por el punto de contacto de la rueda con el suelo, más rápidamente podemos doblar una esquina.
• Cuanto más rápido gira el disco en torno al eje del giroscopio (es decir, cuanto mayor es $\omega$), más lenta es la precesión. Si alguna vez has jugado con una peonza (que no es otra cosa que un giroscopio) ya habrás observado que al final, cuando la peonza ya ha perdido bastante de su velocidad de giro sobre su eje de simetría, la peonza precede mucho más rápido que al inicio (cuando se dice que la peonza ``está dormida'').

En la siguiente película (tamaño: 1.7 MB) se puede observar la precesión de un giroscopio para el caso que acabamos de estudiar. El disco del giroscopio está girando a gran velocidad en torno a su eje que está en posición horizontal.

Movimiento de precesión (1).

Sin embargo aquí no se acaban las cosas curiosas que hace un giroscopio. La siguiente cuestión es fácil de responder: qué ocurre si, con el disco girando en torno al eje del giroscopio en el mismo sentido que antes, ahora la pesa A que desequilibra el eje la colocamos en el otro extremo del eje del giroscopio. En ese caso, el centro de masas se desplaza ahora hacia la izquierda, tal y como se ve en la siguiente figura,

y el sentido del momento del peso es hacia afuera de esta página. Puesto que es este momento el causante de la variación del momento angular, éste (junto con el eje del giroscopio) va a avanzar dentro del plano paralelo al suelo saliendo de esta página: el sentido de precesión va es el contrario al del caso cuando la pesa A estaba colocada en el extremo junto al disco.

La siguiente película (tamaño: 1.4 MB) muestra como para un giroscopio cuyo disco está girando en el mismo sentido que para la película anterior, al colocarle la pesa A en el otro extremo del eje, el giroscopio precede en el sentido contrario.

Movimiento de precesión (2).

Continuemos con otra ``curiosidad''. Hasta ahora hemos supuesto que el eje del giroscopio era paralelo al suelo. Si ahora este eje del giroscopio forma un ángulo $\gamma$ distinto de 90 grados con la vertical, qué va a ocurrir cuando coloquemos la pesa A que desplaza el centro de masas fuera del punto de apoyo O. La respuesta es que el comportamiento no se va a diferenciar en nada de cuando el eje del giroscopio estaba horizontal. Como podemos ver en la siguiente figura,

el momento del peso con respecto al punto de apoyo sigue siendo perpendicular al momento angular del giroscopio; y sigue estando contenido en un plano paralelo al suelo. El cambio del momento angular, que sólo es un cambio en dirección y por tanto es igual al cambio de dirección del eje del giroscopio, es trazar un cono cuya generatriz es el propio eje del giroscopio. La inclinación del eje del giroscopio no es modificada por el peso.

Calcular para este caso el ángulo $\Delta\Theta$ que avanza el eje del giroscopio debido al momento del peso es algo que se hace como en el caso cuando el eje del giroscopio estaba horizontal. Lo único es que ahora hay que tener en cuenta que el módulo del vector momento del peso depende también de la inclinación $\gamma$ del eje del giroscopio

$$\left\vert\vec{M}\right\vert =\left\vert\left(\raisebox{3.5m... ...rt\,m_{\scriptscriptstyle \rm total}g\,\,{\rm sen}\,\gamma\, ,$$

debido a la definición del momento de una fuerza (8) como producto vectorial. Con ello, y teniendo el cuenta el siguiente dibujo, se deduce el ángulo $\Delta\Theta$ que, en un plano paralelo al suelo, se desplaza o precede el eje del giroscopio al cabo de un tiempo $\Delta t$:

$$\Delta\Theta =\frac{\left\vert\vec{M}\right\vert\,\Delta t}{... ...al}g\,\,{\rm sen}\,\gamma}{L\,{\rm sen}\,\gamma}\,\Delta t\, .$$

Y así la velocidad angular de precesión cuando el eje del giroscopio está inclinado es

$$\frac{\Delta\Theta}{\Delta t} =\frac{\left(\raisebox{3.5mm}{... ...\right)_{\scriptscriptstyle \rm eje\:giroscopio} \,\omega}\, ,$$ (19)

que es el mismo resultado que la velocidad angular de precesión (18) cuando el eje del giroscopio estaba horizontal. Luego la velocidad con la que se realiza la precesión es independiente de la inclinación que tenga el eje del giroscopio, inclinación que se mantiene durante la precesión.