Introducción a las leyes de la Mecánica

Para explicar el giroscopio es necesario que repasemos los fundamentos de la mecánica del sólido rígido. Si esto ya lo conoces, puedes pasar a la siguiente sección.

Si quieres comprobar si lo que sabes de Mecánica es suficiente para entender el funcionamiento del giroscopio, puedes hacer el siguiente TEST.

La ecuación fundamental que describe el movimiento de una partícula, es decir de una masa lo suficientemente pequeña para que podamos considerar que no tiene dimensiones o que sus dimensiones no juegan ningún papel en el movimiento, es

$$\hspace{-3mm} \begin{array}{rcl} \mbox{\small fuerza aplicad... ...pace{-2mm}& {\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt}}\, . \end{array}$$ (1)

El momento lineal es un vector -- esto es, una magnitud para la que hay que dar no sólo su valor sino también su dirección y sentido -- que depende de la masa y de la velocidad de la partícula:

$$\mbox{momento lineal }\vec{p}=m\,\vec{v}\, .$$ (2)

Sin embargo, lo normal es que tengamos un cuerpo compuesto por muchas partículas: un sistema de partículas. Puesto que la ecuación (1) se cumple para cada una de las partículas, sumando sobre todas estas partículas obtenemos

$$\sum_i\vec{F}_i=\sum_i\frac{d\vec{p}_i}{dt} =\frac{d}{dt}\le... ...right) =\frac{d\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}{dt}\, ,$$ (3)

donde la suma de los momentos de cada una de las partículas se llama, lógicamente, el momento del sistema de partículas $\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}$. En esta ecuación, ${\displaystyle \sum_i\vec{F}_i}$ lo podemos simplificar un poco: las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas i pueden ser debidas o a fuerzas exteriores a todo el sistema de partículas o a fuerzas que hagan el resto de las partículas del sistema sobre la partícula i. Estas últimas fuerzas, debidas a interacciones mutuas entre partículas dentro del sistema de partículas, se compensan entre sí al sumarse en ${\displaystyle \sum_i\vec{F}_i}$, por lo que lo único que realmente contribuye a este sumatorio son sólo las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El que las fuerzas entre partículas no determinen la dinámica de todo el sistema es bien lógico: como ejemplo, nunca conseguirás avanzar hacia adelante tirándote a tí mismo del brazo.

Para terminar de simplificar la ecuación (3) nos hace falta obtener un resultado para el momento lineal del sistema $\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}$ que sea más manejable que decir que es la suma de los momentos de todas las partículas del sistema. Y para ello necesitamos el concepto de centro de masas o centro de gravedad. Aunque todos tenemos una idea más o menos intuitiva de qué es el centro de gravedad de un cuerpo (por ejemplo, el centro de gravedad del ser humano coincide aproximadamente con el ombligo), la definición del centro de masas (o centro de gravedad) de un sistema de partículas es un poco más complicada. La velocidad del centro de masas se define como la media ponderada de la velocidad ¹calculada sumando la masa de cada una de las partículas multiplicada por su velocidad y dividido todo por la masa total del sistema

$$\vec{v}_{\scriptscriptstyle \rm cm}=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\v... ...{m_1+m_2+\ldots} =\frac{\sum_i m_i\,\vec{v}_i}{\sum_i m_i}\, .$$ (4)

El concepto del centro de masas vamos a aclararlo con un par de ejemplos, en los que veremos cómo esta media ponderada (4) coincide con la velocidad de lo que intuitivamente sabemos que es el centro de gravedad:

• Consideremos una piedra desplazándose horizontalmente: en cada instante de tiempo, todos los puntos de la piedra se mueven con la misma velocidad y por tanto la media ponderada de la velocidad es esta misma velocidad -- la velocidad media en una autopista por la que todos los coches circulan a 120 km/h es por supuesto 120 km/h --: el centro de gravedad de la piedra por lo tanto también se mueve con esa misma velocidad.
• Consideremos ahora un disco circular horizontal que está girando en torno a un eje que pasa por su centro. En este caso cada punto del disco tiene una velocidad de traslación distinta (los puntos más lejanos del eje se desplazan más rápidamente que los que están más cerca del centro). Sin embargo, por la misma simetría circular del disco, y puesto que el disco gira en torno a su centro, elijamos el punto que queramos del disco, siempre podemos encontrar en el disco su punto simétrico que se desplace con la misma velocidad que el primer punto elegido pero en sentido contrario (es decir, con un valor de velocidad que sea menos el valor de la velocidad del primer punto elegido). La media ponderada es por tanto cero. Y la velocidad de traslación del centro del disco es también cero: si dejamos ``suelto'' al disco, este no se desplaza.

  Un caso distinto sería si ahora el disco horizontal ya no girara en torno a un eje que pasara por su centro, sino en torno a un eje que por ejemplo estuviera muy cerca de la periferia del disco. En tal caso la media ponderada de la velocidad ya no sería cero: hay muchos más puntos a un lado del eje que al otro y por lo tanto ya no podemos encontrar para cualquier punto del disco otro punto que lleve su misma velocidad pero en sentido contrario. Y por otro lado, si ahora soltáramos el disco, este sí se desplazaría: volvemos a ver que la media ponderada de la velocidad está relacionada con el desplazamiento del centro de gravedad del sistema de partículas.

Así, el momento lineal de todo el sistema de partículas ${\displaystyle \vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}$ que aparece en la ecuación (3) se define como el producto de la masa total del sistema de partículas por la velocidad de traslación que lleva el centro de masas

$$\hspace{-2mm} \vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}=\sum_i\... ...-1mm}}_{\displaystyle \vec{v}_{\scriptscriptstyle \rm cm}}\, .$$ (5)

O dicho de otro modo, el centro de masas (o de gravedad) es el punto del sistema de partículas en el que, para el movimiento de traslación de todo el sistema, se puede considerar concentrada toda la masa del sistema de partículas moviéndose con la velocidad de tal centro de masas. Por ello, a (5) también se le puede llamar momento lineal del centro de masas. Con esto, la ecuación (3) que relaciona las fuerzas con la variación con el tiempo del momento lineal de un sistema de partículas toma la forma

$$\hspace{-3mm} \begin{array}{rcl} \mbox{\small suma de fuerza... ...}\, \vec{v}_{\scriptscriptstyle \rm cm}\right)}\, . \end{array}$$ (6)

Como acabamos de ver en el segundo ejemplo anterior, para describir completamente el movimiento de un sistema de partículas no nos vale con saber la velocidad de traslación del centro de masas: el disco puede estar girando en torno a su centro pero no desplazarse, con lo que decir que el centro de masas no se desplaza no es suficiente para describir cómo se está moviendo el disco. Nota que esto no ocurría para una única partícula, en donde hablar de giros no tiene sentido al no tener la partícula nigún tamaño o dimensiones. Para describir la dinámica de un sistema de partículas por completo hay que tener en cuenta los giros. Y para describir los giros, un elemento fundamental es saber en torno a qué eje o punto está girando el sistema de partículas (compara los dos casos vistos en el ejemplo del disco que giraba).

La capacidad que tiene una fuerza de hacer girar un cuerpo en torno a un eje se llama el momento de la fuerza respecto a ese eje y se define matemáticamente como el siguiente producto vectorial

$$\left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{M}\right)_O =\left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{r}\right)_O\,\times\,\vec{F}\, ,$$ (7)

donde ${\displaystyle \left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{r}\right)_O}$ es el vector de posición que va desde el punto O (por donde pasa el eje de rotación) hasta el punto de aplicación de la fuerza $\vec{F}$. Nota que el producto vectorial da como resultado un vector, cuyo módulo se define por

$$\left\vert\vec{M}\right\vert =\left\vert\vec{r}\right\vert\cdot\left\vert\vec{F}\right\vert \cdot\,{\rm sen}\,\varphi\, ,$$ (8)

y depende del ángulo $\varphi$ que forme la fuerza con el vector de posición que viene desde el punto O por donde pasa el eje. La dirección y sentido del momento de la fuerza lo determinan la regla de la mano derecha: la dirección del producto vectorial ${\vec{r}\times\vec{F}}$ es perpendicular al plano donde están contenidos los dos vectores $\vec{r}$ y $\vec{F}$; y el sentido del producto vectorial es hacia donde apunte el pulgar de la mano derecha cuando el resto de los dedos están colocados en el sentido de giro del ángulo $\varphi$ cuando se va del primer factor (esto es, $\vec{r}$) al segundo factor (o sea, $\vec{F}$) de ${\vec{r}\times\vec{F}}$, considerando este sentido de giro a lo largo del camino más corto que una a los dos vectores que se multiplican y tomando el sentido una vez que ``mentalmente'' hemos colocado los dos vectores saliendo del mismo origen.

De la misma forma que para la traslación de un sistema de partículas es el momento lineal del sistema -- que depende de la masa y de la velocidad de traslación -- la magnitud fundamental, en el caso de la rotación se define una magnitud que es en parte similar: el momento angular. Lo mismo que el momento lineal depende de la velocidad de traslación, el momento angular depende de la velocidad de rotación $\vec{\omega}$; y también el momento angular, como el momento lineal, depende de la masa del sistema de partículas, si bien esta dependencia es ahora más complicada: no sólo va a depender de la masa sino de las dimensiones del sistema de partículas (o sea, de su forma). La magnitud que contiene esta información sobre la masa y dimensiones del sistema de partículas se llama momento de inercia I, aunque ahora no necesitamos saber cómo depende exactamente de la masa y de la forma del cuerpo. Lo que sí que es importante, y ya te habrás ido dando cuenta, es que todas las magnitudes que estamos definiendo para describir giros dependen sobre todo de la posición del eje de rotación (recuerda que para un mismo disco, no es lo mismo que gire en torno a su centro a que lo haga en torno a un eje que pase por la periferia del disco). Resumiendo, el momento angular de un sistema de partículas con respecto a un eje que pasa por O se define como

$$\mbox{momento angular con respecto al eje $O$\ } \left(\rais... ...right)_O= \left(\raisebox{3.5mm}{}I\right)_O\,\vec{\omega}\, .$$ (9)

Insistimos, tanto el momento de una fuerza (7) como el momento angular o el momento de inercia dependen de dónde esté colocado el eje de giro. La dirección y sentido del vector velocidad angular $\vec{\omega}$ se obtiene utilizando (otra vez) la regla de la mano derecha: $\vec{\omega}$ apunta en la dirección y sentido del pulgar cuando el resto de los dedos se ``enrollan'' en el sentido de giro del movimiento que estamos describiendo.

Al comienzo de esta introducción se habló de la dinámica del sólido rígido: este sólido rígido es una aproximación ideal a un sistema de partículas que no se deformara nunca, independientemente de la velocidad de rotación que lleve (aunque esto no se da nunca en la Naturaleza, hasta la Tierra está deformada debido a su propia rotación en torno a su eje). La relación que describe los giros en un sólido rígido, relación que completa así la información suministrada por la ecuación (6) para la traslación, es

$$\hspace{-5mm} \begin{array}{rcl} \mbox{\small suma de moment... ...vec{L}_{\scriptscriptstyle \rm total}\right)_O}\, , \end{array}$$ (10)

insistiendo otra vez en que para la rotación hay que indicar siempre respecto a qué eje nos estamos refiriendo. Nota que esta última ecuación tiene una forma bastante similar a la ecuación (6): donde allá se hablaba de fuerza y momento lineal, aquí se habla de momento de fuerza y momento angular. En los dos casos se tiene que la fuerza/momento de fuerza es la causa de la variación con el tiempo del momento lineal/momento angular. El conjunto de estas dos ecuaciones

$$\left\{\begin{array}{lcl} {\displaystyle \sum_i \vec{F}_{{\s... ...\scriptscriptstyle \rm total}\right)_O}\, , \end{array}\right.$$ (11)

describen por completo la dinámica de un sistema de partículas rígido: se llaman las Leyes de Newton de la Mecánica.

La siguiente tabla cuadro contiene el resumen de los resultados obtenidos para la dinámica de traslación y rotación de un sistema de partículas, y sirve para destacar la similitud que hay entre ambas dinámicas:

Traslación		Rotación
espacio recorrido	$\leftrightarrow$	ángulo girado
velocidad lineal	$\leftrightarrow$	velocidad angular
masa del sistema	$\leftrightarrow$	momento de inercia
momento lineal del sistema: ${\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}=\left(\begin{array}{c} p_x\\ p_y\\ p_z\... ...scriptstyle \rm total}\left(\begin{array}{c} v_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right)}$	$\leftrightarrow$	momento angular del sistema: ${\displaystyle \left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{L}\right)_O=\left(\begin{array}{c}... ...{-1mm} \left(\begin{array}{c} \omega_x\\ \omega_y\\ \omega_z\end{array}\right)}$
fuerza exterior: ${\displaystyle \sum_i \vec{F}_{{\scriptscriptstyle \rm ext},\: i} =\frac{d}{dt}\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}$	$\leftrightarrow$	momento de la fuerza exterior: ${\displaystyle \sum_i \left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{M}_{{\scriptscriptstyle \rm... ...{d}{dt}\left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{L}_{\scriptscriptstyle \rm total}\right)_O}$

Volvemos a repetir que la dinámica de rotación contiene dos diferencias fundamentales con respecto a la dinámica de traslación:

1. Siempre hay que indicar el eje respecto al cual hacemos los cálculos.
2. A diferencia de la dinámica de traslación, donde el momento lineal del sistema siempre es paralelo a la velocidad de traslación, en la dinámica de rotación esta relación entre momento angular y velocidad de rotación no se cumple en general.

Antes de acabar con esta introducción hay un punto que nos queda todavía por tratar. Hasta ahora hemos estado trabajando con vectores tanto fuerzas/momento de fuerzas como momento lineal/angular. Sin embargo la dinámica de una sistema de partículas puede ser descrita también utilizando el concepto de energía o trabajo, que tiene la ventaja sobre las Leyes de Newton (11) que en vez de trabajar con vectores (para los que hay que indicar módulo, dirección y sentido) se trabaja sólo con escalares, es decir con números a secas. El trabajo dW hecho por una fuerza $\vec{F}$ al desplazar un cuerpo una distancia muy pequeña $d\vec{r}$ viene definido por el producto escalar

$$dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}\, .$$ (12)

Date cuenta que el producto escalar es el producto de los módulos de $\vec{F}$ y de $d\vec{r}$ y del coseno del ángulo $\varphi$ que forman entre ellos: en otras palabras, aunque $\vec{F}$ y $d\vec{r}$ pueden ser dos vectores distintos de cero, el trabajo que hace la fuerza puede resultar cero si se da el caso de que $\vec{F}$ y $d\vec{r}$ son perpendiculares entre sí.

Consideremos un sólido rígido (es decir, un sistema de partículas que nunca se deforma) desplazándose sin rotar, esto es, cada partícula lleva la misma velocidad que el centro de masas. Y supongamos que actúa sobre este sistema una fuerza externa $\vec{F}_{\scriptscriptstyle \rm ext}$: se pregunta cómo está relacionado el trabajo que realiza esta fuerza exterior con el momento lineal del sistema de partículas. De acuerdo con la Ley de Newton para el movimiento de traslación del centro de masas tenemos que ${\displaystyle \vec{F}_{\scriptscriptstyle \rm ext}=\frac{d}{dt} \vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}$, luego (12) se puede escribir como

$$dW=\vec{F}_{\scriptscriptstyle \rm ext}\cdot d\vec{r} =\frac... ...total}\cdot d\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}\right)\, ,$$ (13)

después de ``pasar'' el dividendo dt (en el fondo una derivada no es más que un cociente) debajo de $d\vec{r}$ y, para el último paso, usando el siguiente razonamiento: puesto que por definición la velocidad lineal de traslación es ${\displaystyle \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}}$ y el bloque se desplaza como un todo con la velocidad del centro de masas ${\displaystyle \vec{v}_{\scriptscriptstyle \rm cm} =\frac{\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}{m_{\scriptscriptstyle \rm total}}}$ (nota que la velocidad del centro de masas es paralela al momento lineal del sistema ya que la masa es un escalar, un número), tenemos que ${\displaystyle d\vec{r}=\vec{v}_{\scriptscriptstyle \rm cm}\,dt =\frac{\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}{m_{\scriptscriptstyle \rm total}}\,dt}$. Si ahora queremos saber el trabajo realizado por la fuerza exterior no sólo para un pequeño desplazamiento infinitesimal $d\vec{r}$ sino para todo un camino en donde ha estado actuando la fuerza, el trabajo total será la suma (mejor dicho, integral) a lo largo de todo ese camino de la constribuciones dadas por la ecuación (13), esto es

$$W=\int_{\scriptscriptstyle \rm camino}\hspace{-3mm}dW=\frac{... ...iptstyle \rm inicio\:camino}}{2} \raisebox{3.5mm}{}\right]\, ,$$ (14)

teniendo en cuenta la bien conocida integral ${\displaystyle \int x\,dx=\frac{x^2}{2}}$. Fíjate que el trabajo depende de ${\displaystyle \vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}^{\,2} =\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}\cdot\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}$, es decir, sólo del módulo (y no de la dirección o sentido) del momento lineal. Si nos fijamos más a fondo lo que vemos es que ${\displaystyle \frac{1}{2m_{\scriptscriptstyle \rm total}}\vec{p}^{\,2}_{\scriptscriptstyle \rm total}}$ no es otra cosa que la energía cinética de traslación

$$\frac{1}{2m_{\scriptscriptstyle \rm total}}\vec{p}^{\,2}_{\s... ...le \rm total}}{2}\vec{v}^{\,2}_{\scriptscriptstyle \rm cm}\, .$$

La ecuación (14) expresa una ley física muy general: el trabajo realizado por una fuerza es igual a la variación de energía mecánica del cuerpo sobre el que esta fuerza actúa.

Y con esto llegamos a un resultado interesante: si la fuerza exterior es perpendicular al momento lineal del sistema de partículas, entonces esa fuerza no realiza trabajo. La razón es muy sencilla: puesto que como ya hemos visto se cumple que ${\displaystyle d\vec{r}=\frac{\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}{m_{\scriptscriptstyle \rm total}}\,dt}$, entonces

$$dW=\vec{F}_{\scriptscriptstyle \rm ext}\cdot d\vec{r}=\frac{... ...le \rm ext}\cdot\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}\,dt\, ,$$ (15)

y este producto escalar (y con ello el trabajo) es cero en este caso, puesto que la fuerza exterior y el momento lineal son perpendiculares entre sí. Puesto que esta fuerza no realiza trabajo, entonces de acuerdo con (14) se cumple que ${\displaystyle \vec{p}^{\,2}_{\scriptscriptstyle \rm inicio\:camino} =\vec{p}^{\,2}_{\scriptscriptstyle \rm final\:camino}}$ para cualquier camino: es decir,

O lo que es lo mismo: la energía cinética no varía si $\vec{F}_{\scriptscriptstyle \rm ext}$ y $\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}$ son perpendiculares. Un caso donde se da esta situación es por ejemplo en un satélite alrededor de la Tierra: la única fuerza que actúa sobre él es la atracción gravitatoria de la Tierra, que lleva una dirección perpendicular a la velocidad de traslación del satélite (y por tanto, también es perpendicular al momento lineal del satélite ya que el momento lineal es directamente proporcional a la velocidad de traslación del centro de masas). Es importante insistir en que este resultado deriva de la relación ${\displaystyle d\vec{r}=\frac{\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}}{m_{\scriptscriptstyle \rm total}}\,dt}$, esto es, porque $d\vec{r}$ y $\vec{p}_{\scriptscriptstyle \rm total}$ son paralelos entre sí. Y esto se cumple siempre ya que el momento lineal del sistema es siempre paralelo a la velocidad del centro de masas. En esto se diferencia de la dinámica de rotación, donde tal relación no se cumple siempre.

Como ya te estarás imaginando, ahora nos queda ver qué forma tiene el trabajo realizado por una fuerza cuando en vez de trasladar el centro de masas lo que hace es hacer girar el sistema de partículas alrededor de un eje. Sin hacer la demostración matemática, sí que podemos obtener cuál va a ser el resultado final teniendo en cuenta la tabla anterior: sustituimos la fuerza exterior por el momento de esta fuerza y en cambio del pequeño (infinitesimal) desplazamiento $d\vec{r}$ un pequeño ángulo girado $d\theta$. Como ya hemos visto para la velocidad angular, a este ángulo girado se le da carácter vectorial de acuerdo con la regla de la mano derecha (ver figura). Obtenemos así

$$\hspace{-1cm} \begin{array}{lcl} \mbox{\bf Traslaci\'on} && ... ...iptscriptstyle \rm ext}\right)_O\cdot d\vec{\theta} \end{array}$$ (16)

Ahora podríamos repetir pasos similares a los que en la dinámica de traslación nos han llevado a los resultados (14) y (15). Pero hay una dificultad, como muy posiblemente ya habrás descubierto: aunque por definición del vector velocidad angular $\vec{\omega}·$ se cumple por supuesto que ${d\vec{\theta}=\vec{\omega}\,dt}$, lo que ya no se cumple en general es que ${\displaystyle \vec{\omega}=\frac{1}{\left(\raisebox{3.5mm}{}I\right)_O} \left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{L}_{\scriptscriptstyle \rm ext}\right)_O}$, puesto que el momento de inercia ${\left(\raisebox{3.5mm}{}I\right)_O}$ es en general una matriz y no un número. Lo correcto es

$$d\vec{\theta}=\left(\begin{array}{c} d\theta_x\\ d\theta_y\\... ...\left(\begin{array}{c} L_x\\ L_y\\ L_z\end{array}\right)dt\, ,$$

y por ello $d\vec{\theta}$ y el momento angular no son paralelos siempre, a diferencia de la dinámica de traslación donde $d\vec{r}$ y el momento lineal sí que lo eran. Sólo en los casos especiales en que $\vec{\omega}$ y ${\left(\raisebox{3.5mm}{}\vec{L}\right)_O}$ lleven la misma dirección -- y esto ocurre cuando la forma del cuerpo y su rotación es tal que podamos afirmar que el momento angular apunta, prácticamente, a lo largo de uno de los ejes de simetría del cuerpo -- podremos repetir los mismos pasos que para la dinámica de traslación y concluir así que, si el momento de la fuerza exterior es perpendicular al momento angular, entonces el módulo del vector momento angular permanece constante. Este va a ser el caso del giroscopio (o de la rueda de la moto) cuando esté girando sobre su eje a gran velocidad.

Conviene que no continúes leyendo si las ideas principales de la introducción anterior no las has entendido. Si quieres, puedes comprobar lo que has aprendido haciendo el siguiente TEST.