Problema 3

Supongamos que desde que disparamos la bolita de plomo, que tiene una masa igual a ${\displaystyle m=\frac{4\pi}{3}\left(\frac{\mbox{di\'am.}}{2}\right)^3\rho=0.01\, {\rm kg}}$ (masa = volumen x densidad), hasta que choca con la masa M del péndulo balístico, la trayectoria es prácticamente horizontal (aunque en realidad sea un tiro parabólico).

La velocidad $v_0$ con la que la bolita de plomo sale disparada al soltar el muelle (que está comprimido una distancia x) se calcula utilizando la conservación de la energía mecánica: antes de soltar la bolita, ésta sólo tiene energía potencial elástica, ${\displaystyle \frac 12 K x^2}$, y después de que el muelle se ha estirado completamente, la bolita sólo tiene energía cinética (puesto que estamos suponiendo que la bolita sigue una trayectoria horizontal, sin cambiar de altura, no hace falta que tengamos en cuenta la energía potencial gravitatoria)

$$\frac 12 K x^2=\frac 12 m v_0^2\,\Rightarrow\, v_0=\sqrt{\frac Km}\, x\, .$$ (19)

$a)$ Ahora la bolita llega a la masa M del péndulo balístico, se incrusta en ella y le comunica un impulso. La interacción entre las dos masas (una fuerza interna al sistema formado por bolita + péndulo balístico) no modifica el momento angular de este sistema, por lo que podemos afirmar que que el momento angular justo antes del choque es igual al momento justo después; por supuesto, esta conservación del momento angular no se cumple si entre justo antes del choque y, por ejemplo, tres minutos después de él, ya que mientras tanto ha estado actuando la fuerza de la gravedad que es una fuerza externa al sistema y por tanto modifica el momento angular. Así, con respecto al punto del techo de donde cuelga la masa M, tenemos

$$\mbox{$\vert\vec{J}_{\scriptscriptstyle \rm sistema}\vert$\ ... ...}_{\scriptscriptstyle \rm sistema}\vert$\ justo despu\'es}\, ,$$ (20)

donde v' es la velocidad con la que retrocede el péndulo balístico con la bala de plomo incrustada en él.

Para calcular ahora la altura h hasta la que suben las dos masas utilizamos otra vez la conservación de la energía mecánica:

$$\mbox{Energ\'\i a mec. abajo} =\frac 12 (M+m){v'}^2+0=0+(M+m)gh= \mbox{Energ\'\i a mec. arriba}\, ,$$

y sustituyendo (20) y (19)

$$h=\frac{1}{2g}v'^2=\frac{1}{2g}\left(\frac{m}{m+M}\right)^2 v_0^2= \frac{1}{2g}\left(\frac{m}{m+M}\right)^2\frac Km x^2\, .$$ (21)

La relación entre la altura h y el ángulo que forma el péndulo con la vertical cuando alcanza el punto más alto es muy sencillo de obtener: ${h=L-L\cos\theta=L(1-\cos\theta)}$.

$b)$ Hemos obtenido ${\displaystyle h=\frac{K}{2g}\frac{m}{\left(m+M\right)^2} x^2}$, o lo que es lo mismo, comparando con ${h=Ax^n}$, tenemos que ${n=2}$ y ${\displaystyle A=\frac{K}{2g}\frac{m}{\left(m+M\right)^2}}$ (con K y M desconocidos). Para determinar el valor de A (para luego poder deducir M), vamos a representar los datos que nos dan. La mejor forma de hacerlo es ingeniárnoslas para que la representación gráfica resulte ser una recta: puesto que h es proporcional a x al cuadrado, la forma de obtener una recta es representar en un eje $h$ y en el otro $x^2$, para que asílo representado en un eje sea linealmente proporcional a lo representado en el otro (lo que por definición es una recta). La pendiente de tal recta será la constante de proporcionalidad entre $h$ y $x^2$, o sea $A$; para más detalles, ver trucos.

O, puesto que lo que nos dan es directamente el ángulo, también podemos operar

$$h=Ax^2\, ,\quad h=L(1-\cos\theta)\, ,\quad \cos\theta=1-\frac AL\,x^2\, ,$$ (22)

y representando el coseno frente a $x^2$ obtendremos una recta de pendiente ${\displaystyle -\frac AL}$, como en la siguiente figura:

La pendiente la podemos calcular aproximadamente midiendo el ángulo de la recta (la pendiente es la tangente trigonométrica de este ángulo) o bien tomando dos puntos cualesquiera de la recta: por ejemplo con el primer y último punto de la recta se obtiene

$$\mbox{pendiente}=-\frac AL=\frac{\cos(\theta=36)-\cos(\theta=11)} {(x=0.15)^2-(x=0.05)^2}=-8.6\,{\rm m^{-2}}\, .$$ (23)

Puesto que además nos dicen que si al muelle de constante K desconocidad le colgamos una masa M+m y dejamos que alcance su posición de equilibrio, el alargamiento del muelle es ${\Delta l=0.011\,{\rm m}}$, entonces (ver figura)

$$K\,\Delta l=(M+m)g\,\Rightarrow\, K=(M+m)\frac{g}{\Delta l}\, .$$ (24)

Con ello y el resultado (23) despejamos finalmente la constante del muelle y la masa del péndulo balístico:

$$A=4.3=\frac{1}{2\Delta l}\frac{m}{m+M}\,\Rightarrow\,M+m=0.11\,{\rm kg}\, ,$$

$$M=0.10\,{\rm kg}\, ,\quad K=(M+m)\frac{g}{\Delta l}=98\,{\rm N/m}\, .$$ (25)

En cuanto a la última pregunta de este apartado, nuestra regla sólo puede distinguir milímetros. El alargamiento que produce la bolita de plomo, que tiene una masa de 0.01 kilogramos, sería de (ver (24))

$$K \Delta l=mg\,\Rightarrow\, \Delta l=\frac{mg}{K}=0.001\,{\rm m}\, ,$$

es decir, justo un milímetro, que es lo mínimo que llega a distinguir nuestra regla. Esto quiere decir que un estiramiento menor (por ejemplo de 0.8 mm o de 0.7mm) lo hubiéramos apreciado en la regla también como de 1 mm, puesto que no podemos distinguir distancias menores. Esto hace que las medidas que podamos hacer usando esta bolita nos dan un valor de la constante de muelle que tiene un error justo del orden de magnitud del valor de K que queremos determinar: el procedimiento no es nada exacto.

$c)$ Supongamos que, al no saber deducir (21), no podemos determinar que la altura es proporcional al cuadrado de los que se ha comprimido originariamente el muelle para disparar la bolita de plomo. Nos encontramos con ${h=Ax^n}$, pero ahora con A y también n desconocidos. La forma de obtener el valor del exponente en tal caso se obtiene, como se indica en el problema, utilizando el método de tomar logaritmos (con más detalle en la página dedicada a trucos):

$$h=Ax^n\,\Rightarrow\,\ln h= n\ln x + \ln A\, .$$

De esta forma, si representamos el logaritmo de la altura h frente al logaritmo de lo que se comprime el muelle x, obtenemos una recta de pendiente n (el exponente que andamos buscando) y término independiente lnA.

Una forma aproximada de obtener la pendiente y el término independiente de la recta es volviendo a tomar dos puntos cualesquiera de la recta (por ejemplo el primero y el último) y recordar que ${\displaystyle h=L(1-\cos\theta)}$

$$\mbox{pendiente}=n=\frac{\ln\left[L\left(1-\cos(\theta=36)\r... ...(\theta=11)\right)\right]} {\ln (x=0.15)-\ln (x=0.05)}=2.1\, ,$$

y puesto que lnh=nlnx+lnA

$$\ln A=\ln\left[L\left(1-\cos(\theta=36)\right)\right] -\underbrace{n}_{\displaystyle =2} \ln (x=0.15)=1.446\, ,$$

o equivalentemente

$$n\approx 2\, ,\qquad A=e^{1.446}=4.25\,{\rm m^{-1}}\, .$$ (26)

que, como era de esperar, demuestra que la dependencia de la altura con la compresión del muelle es cuadrática, n=2; además el valor de A es bastante parecido al valor de A=Lx8.6=4.3 obtenido en (23).