Problema 2

Puesto que el campo electrostático es conservativo, se puede definir una energía potencial, que es igual a ${\displaystyle E_{\scriptscriptstyle \rm pot}=K\frac{qq'}{r}}$ para dos cargas q y q' separadas en el vacío una distancia r, con K una constante igual a ${K=9\times 10^9}$ (nota que se trata de una forma de energía potencial muy similar a la del problema anterior, aunque ahora con cargas eléctricas en vez de masa). Si suponemos que el rozamiento con el aire es despreciable, el problema lo podemos resolver por conservación de la energía mecánica (suma de energía cinética y de las energías potenciales).

En la posición de partida, la carga Q que está arriba no tiene nada de energía cinética (está quieta), tiene una energía potencial gravitatoria igual a ${mgH_0}$ (con ${H_0=0.1\,{\rm m}}$) y una energía potencial electrostática igual a ${\displaystyle K\frac{Q^2}{H_0}}$ (suponemos que las bolitas son prácticamente puntuales, de tal forma que ${H_0}$ es la distancia que las separa inicialmente).

Soltamos la bola, va cayendo y acelerándose por acción de la gravedad pero a medida que se acerca a la otra bolita es repelida por esta. En el punto más cercano a la bolita que está en el suelo, parándose a una distancia ${H_1=0.01\,{\rm m}}$ de ella, la energía mecánica es la misma que al inicio:

$$0+mgH_0+K\frac{Q^2}{H_0}=\mbox{Energ\'\i a mec. constante} =0+mgH_1+K\frac{Q^2}{H_1}\, ,$$ (9)

de donde obtenemos el siguiente dato que nos va a ser útil en el resto del problema:

$$\frac{KQ^2}{mg}=H_1\,H_0\, ,$$ (10)

$$\mbox{Energ\'\i a mec. constante} =mg\left(H_0+\frac{KQ^2}{mg}\frac{1}{H_0}\right)=mg(H_0+H_1)\, .$$ (11)

Si ahora consideramos un punto cualquiera de la trayectoria de la bolita, cuando está a una distancia h de la bolita inferior y lleva una velocidad v, tenemos entonces que la misma ecuación (9) se aplica aquí

$$mg(H_0+H_1)=\mbox{Energ\'\i a mec. constante} =\frac m2 v^2+... ...2}{mg}\frac 1h\right)=mg\left(h+\frac{H_0 H_1}{h}\right)} \, .$$ (12)

$a)$ Si ahora queremos saber para qué valor h' de la altura la velocidad v es máxima, argumentamos de la siguiente forma: para que la velocidad sea máxima (para que la energía cinética sea máxima), la energía potencial total ${\displaystyle E_{\scriptscriptstyle \rm pot}=mg\left(h+\frac{H_0 H_1}{h}\right)}$ ha de ser mínima ya que la suma de las dos, la energía mecánica, es constante. Luego hay que buscar el valor de h que hace que la derivada de la energía potencial con respecto a h sea cero:

$$0=mg\left(1-\frac{H_0 H_1}{h'^2}\right)\,\Rightarrow\, h'=\sqrt{H_0 H_1}\, .$$ (13)

Otro argumento completamente equivalente: cuando soltamos la bolita, ésta empieza a ganar velocidad (aceleración positiva). La velocidad, sin embargo, no puede aumentar indefinidamente ya que al final va a llegar a las cercanías de la otra carga, y por la repulsión electrostática, la bolita va a perder velocidad (aceleración negativa) hasta pararse. Por lo tanto en algún punto de la trayectoria la aceleración tiene que ser cero (ya que pasa de ser positiva a ser negativa) y en tal punto además la velocidad es máxima (ya que la aceleración, su derivada, es cero). Pero además el que la aceleración sea cero significa que la suma de fuerzas en tal punto es también cero: puesto que la fuerza de repulsión entre dos cargas q y q' separadas en el vacío una distancia r es ${\displaystyle K\frac{qq'}{r^2}}$, entonces en la posición donde la velocidad es máxima tenemos que

$$0=\underbrace{-mg}_{\mbox{fuerza hacia abajo}} +\underbrace{K\frac{Q^2}{h'^2}}_{\mbox{fuerza hacia arriba}}\, ,$$ (14)

que es el resultado (13) ya que de (10) sabemos que ${\displaystyle KQ^2=mg(H_0 H_1)}$.

$b)$ La correspondiente velocidad máxima se obtiene de sustituir h' en (12)

$$mg(H_0+H_1)=\frac m2 v_{\scriptscriptstyle \rm max}^2+mg\lef... ...{\scriptscriptstyle \rm max}^2}{2g}+2\sqrt{H_0 H_1}\right]\, ,$$

$$\frac{v_{\scriptscriptstyle \rm max}^2}{2g}= \underbrace{\le... ...2g} \left(\sqrt{H_0}-\sqrt{H_1}\right)\approx 1\,{\rm m/s}\, .$$ (15)

$c,d)$ Ahora tenemos que calcular en qué punto de toda la trayectoria la aceleración (o lo que es lo mismo, la fuerza) es la mayor. Sobre la bolita que cae actúan dos fuerzas: la del peso (que es constante e igual a mg) y la de la repulsión entre las dos bolitas. Esta repulsión es la mayor posible en el punto en el que están más cerca, luego en este punto es donde la aceleración de frenado es la mayor; y es la menor posible en el punto en que están más alejadas (al inicio del experimento). Puesto que la aceleración total es la resta de la aceleración de la gravedad g menos esta desaceleración por la repulsión entre las dos cargas eléctricas, entonces

$$\mbox{cargas m\'as juntas:}$$

$$ma_{\scriptscriptstyle \rm max} =mg-\frac{KQ^2}{H_0^2} \Rightarrow a_{\scriptscriptstyle \rm max}=g\underbrace{\left(1-\frac{KQ^2}{mg} \frac{1}{H_0^2}\right)}_{\displaystyle 1-\frac{H_1}{H_0}} =8.8\,{\rm m/s^2}\, ,$$ (16)

$$\mbox{cargas m\'as alejadas:}$$

$$ma_{\scriptscriptstyle \rm min} =mg-\frac{KQ^2}{H_1^2} \Rightarrow a_{\scriptscriptstyle \rm min}=g\underbrace{\left(1-\frac{KQ^2}{mg} \frac{1}{H_1^2}\right)}_{\displaystyle 1-\frac{H_0}{H_1}} =-88\,{\rm m/s^2}\, .$$ (17)

Nota que en valor absoluto la aceleración es la mayor en el punto en el que las dos cargas están más cerca.

$e)$ Sabiendo el valor de la masa m, el valor de Q se deduce inmediatamente de (10):

$$\vert Q\vert=\sqrt{\frac{mg H_0 H_1}{K}}=1.0\times 10^{-7}\,\mbox{culombios} \, .$$ (18)