Problema 1

$a)$ La fuerza externa que actúa sobre la nave es sólo la de la atracción gravitatoria terrestre, que según la Ley de Newton viene dada por ${\displaystyle G \frac{M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}m_{\scriptscriptstyle \rm nave}} {(R_T+h)^2}}$, siendo ${(R_T+h)}$ la distancia entre la nave y el centro de la Tierra. La dirección de esta fuerza es central, esto es, apuntando hacia el centro de la Tierra, y por tanto es perpendicular a la trayectoria circular de la nave: por ello, esta fuerza no hace trabajo y no modifica la energía cinética (el módulo de la velocidad) de la nave.

Tal fuerza es igual a la masa de la nave multiplicada por su aceleración: puesto que la fuerza es perpendicular a la trayectoria, no hay aceleración tangencial (tangente a la trayectoria) sino sólamente existe la aceleración normal (perpendicular a la trayectoria):

$$G \frac{M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}m_{\scriptscriptsty... ...0=\sqrt{\frac{G M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}}{R_T+h}}\, .$$ (1)

Para despejar la cantidad ${G M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}}$, que no nos la dan, utilizamos es siguiente argumento: para puntos muy próximos a la superficie de la Tierra, sabemos que la fuerza con que atrae la Tierra a una masa m cualquiera es F=mg; pero de acuerdo con la Ley de Newton de la gravitación, esta fuerza también es igual a ${\displaystyle G \frac{M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}m}{R_T^2}}$, de donde despejamos que ${\displaystyle G M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}=g R_T^2}$, siendo el radio de la Tierra dato conocido. De aquí obtenemos que la velocidad orbital de la nave

$$v_0=\underbrace{\sqrt{\frac{G M_{\scriptscriptstyle \rm Tier... ... g}\, \sqrt{\frac{R_T^2}{R_T+h}}=7.7\times 10^3\,{\rm m/s}\, ,$$ (2)

que por supuesto es constante, ya que como hemos visto al comienzo, la fuerza de la gravedad no modifica el valor de la velocidad. Y el periodo, o sea, el tiempo en dar una vuelta es

$$T=\frac{2\pi(R_T+h)}{v_0}=5.4\times 10^3\,{\rm s}\, .$$ (3)

$b)$ Una vez la nave ya ha empezado la trayectoria curvada de aproximación, la única fuerza externa que actúa sobre la nave vuelve a ser la gravitatoria, que como ya sabes es una que apunta al centro de la Tierra. Tal fuerza no cambia el momento angular $\vec{J}$ de la nave (Ley de Kepler), momento que medido desde el centro de la Tierra es

$$\mbox{punto $A$: }\,(R_T+h)m_{\scriptscriptstyle \rm nave}v_... ...R_T m_{\scriptscriptstyle \rm nave}v_B\,\mbox{: punto $B$}\, .$$ (4)

En esta parte del problema tenemos dos incógnitas (las velocidades en los puntos A y B) y por lo tanto necesitamos otra ecuación más. Ésta nos la va a dar la conservación de la energía mecánica (total) de la nave, suponiendo que durante toda la trayectoria elíptica de aproximación no hay ningún tipo de rozamiento. Sabemos que la energía potencial de una masa puntual m a una distancia r de la Tierra es igual a ${\displaystyle -G\frac{M_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}m}{r}}$ (el signo menos indica que la masa m es más estable, tiene menos energía potencial a una distancia finita de la Tierra que a una distancia infinita); y por lo tanto

$$\begin{array}{lcl} \mbox{Energ\'\i a mec.}_A &\hspace{-2mm}=... ...yle \rm nave}}{R_T} =\mbox{Energ\'\i a mec.}_A}\, , \end{array}$$

y combinando con (4) y con la relación ${\displaystyle g=\frac{GM_{\scriptscriptstyle \rm Tierra}}{R_T^2}}$, obtenemos

$$v_A=\sqrt{2 g R_T^2\frac{R_T}{(R_T+h)(2R_T+h)}}= 7.6\times 10^3\,{\rm m/s}\, .$$ (5)

$c)$ En teoría, y ya que conocemos $v_A$, podríamos resolver esta cuestión como en (4), utilizando la conservación del momento angular al no tener más que una fuerza exterior que es central. El único problema es que para calcular el momento angular (medido desde el centro de la Tierra) de la nave en el punto C necesitamos conocer el ángulo que forma la velocidad de la nave con respecto al vector de posición: recuerda que el momento angular se define a traés de un producto vectorial ${\vec{J}=m\vec{r}\times\vec{v}}$; este problema no lo tenía mos en el caso anterior ya que en los puntos A y B el vector de posición y la velocidad eran perpendiculares entre sí.

Luego el momento angular no nos sirve. Sin embargo, como nos dicen que, en el caso que estamos estudiando ahora, hasta este punto C la nave no ha rozado todavía con la atmósfera, entonces la energía mecánica de la nave se conserva

$$\mbox{E.mec.}_A=\frac 12 m_{\scriptscriptstyle \rm nave}v_A^... ...erra}m_{\scriptscriptstyle \rm nave}}{R_T+h'}= \mbox{E.mec.}_C$$

$$v_C \hspace{-2mm}=\hspace{-2mm} \sqrt{\frac{2 g R_T^2}{R_T+h} \left(\frac{R_T}{2R_T+h}+\frac{h-h'}{R_T+h'} \right)}=7.9\times 10^3\,{\rm m/s}\, .$$ (6)

$d)$ Suponiendo que la reducción de energía cinética de la nave sólo es debida al rozamiento con la atmósfera (despreciamos el trabajo de frenado de los cohetes), entonces el trabajo hecho por tal rozamiento es igual a la variación de energía mecánica (que por lo tanto ya no se conserva) entre los puntos C y el punto de aterrizaje (donde la nave ya no lleva velocidad):

$$W_{\scriptscriptstyle \rm roz}=\mbox{E.mec.}_C -\mbox{E.mec.... ....mec.}_A-\mbox{E.mec.}_{\scriptscriptstyle \rm aterrizaje}\, .$$ (7)

Y como ya sabemos cuál es la velocidad en el punto A (ver (5)), obtenemos que el trabajo del rozamiento por unidad de masa de la nave es

$$W_{\scriptscriptstyle \rm roz}=\left[\frac 12 m_{\scriptscri... ...le \rm Tierra}m_{\scriptscriptstyle \rm nave}}{R_T}\right]\, ,$$

$$\frac{W_{\scriptscriptstyle \rm roz}}{m_{\scriptscriptstyle ... ...}+1\right)= 3.2\times 10^8\,{\rm J}\approx \frac{g R_T}{2}\, .$$ (8)

que se disipa en forma de calor.