Problema 3

Durante todo el problema vamos a suponer que el hilo no se estira ni tiene masa, y que la polea por donde pasa el hilo tampoco tiene masa. Con esto podemos asegurar que la tensión en el hilo es la misma a lo largo de todo el hilo, y que la aceleración con la que cae la pesa es la misma que la aceleración con la que se mueve el carrito hacia la derecha.

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las masas de la figura se despeja que la aceleración a viene dada por

$$a=\frac{m_2}{m_1+m_2} g=\frac{m_2}{M} g ,$$ (11)

siendo $m_2$ la masa del carrito (que en cada nuevo intento vamos a ir variando), M la masa total del carrito+pesa (que es constante e igual a 0.15kg), y g la aceleración de la gravedad que queremos obtener. Puesto que la aceleración (11) no varía con el tiempo, el movimiento del carrito es uniformemente acelerado: como el carrito parte del reposo siempre, el espacio recorrido d está relacionado con la aceleración por ${\displaystyle d=\frac a2 t^2}$, siendo t el tiempo en recorrer este espacio. O sea,

$$t^2=\frac{2d}{a}=\frac{2dM}{g} \frac{1}{m_2} .$$ (12)

Si representáramos el tiempo t frente a la masa del carrito $m_2$ obtendríamos una curva similar a una hipérbola, de la que no podemos sacar mucha información. Sin embargo, con un poco de astucia (ver trucos) y fijándonos bien en la ecuación (12) vemos que $t^2$ es directamente proporcional a $1/m_2$, o lo que es lo mismo, si representamos en el eje vertical $y=t^2$ y en el eje horizontal $x=1/m_2$ tenemos

$$y=\underbrace{\frac{2dM}{g}}_{\displaystyle \mbox{constante}}x ,$$

que es la ecuación de una recta de pendiente igual a 2dM/g y que pasa por el origen de coordenadas. Tras representar esta recta con los datos de la tabla, obtenemos su pendiente: por ejemplo, midiendo el ángulo que forma la recta con el eje horizontal y calculando su tangente trigonométrica, o bien midiendo la altura de un punto cualquiera de la recta y dividiendo esta altura por la abcisa correspondiente

$$\mbox{pendiente}=0.0235 {\rm s^2 kg}=\frac{2dM}{g}\;\Rightarrow\; g=9.75 {\rm m s^{-2}} .$$ (13)

Otra forma (menos elegante) de obtener g es despejar su valor a partir del resultado (12) sustituyendo para cada pareja de datos de la tabla; y luego calcular el valor medio de todos los valores de g obtenidos.