Problema 3

Partimos de que la fuerza entre las cargas q y q' tiene la forma ${\displaystyle F=K\frac{qq'}{r^n}}$, con n número entero desconocido y K una constante desconocida que tenemos que despejar. Tal fuerza actúa en la dirección de la recta que une las dos cargas. Evidentemente en el montaje de la figura (en el que vamos a despreciar desde el principio la atacción gravitatoria) tal fuerza no tiene una dirección exactamente horizontal cuando el hilo de longitud L, al que está unido la carga q, no está horizontal.

Sin embargo, suponiendo que la distancia r a la segunda carga q' es mucho mayor que L, podemos aproximar la fuerza como horizontal y además considerarla que es prácticamente constante. Un caso similar ocurre con el péndulo simple dentro de un campo gravitatorio: también al desplazar el péndulo de su posición vertical la distancia al centro de La Tierra aumenta y la dirección de la fuerza gravitatoria no es exactamente vertical, pero sin embargo como la distancia al centro es mucho mayor que la longitud del péndulo, podemos aproximar que la fuerza de atracción gravitatoria sigue siendo vertical y con prácticamente el mismo valor que cuando el péndulo colgaba verticalemnte.

Para el péndulo simple en el campo gravitatorio terrestre, el periodo de su movimiento viene dado por ${\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac gL}}$ si las oscilaciones son pequeñas. En nuestro caso, la fuerza que actúa entre las dos cargas, suponiendo que r sea mucho mayor que L, también la podemos escribir como si se tratara de un campo gravitatorio

$$F=K\frac{qq'}{r^n}=m\,\mbox{\lq\lq {\it g}''}\, ,$$

donde la ``g'' ahora corresponde por tanto a

$$\mbox{\lq\lq {\it g}''}=\frac{Kqq'}{m}\,r^{-n}\, .$$ (16)

Sustituyendo este resultado en el periodo de un péndulo simple en un campo gravitatorio, obtenemos que el periodio en nuestro problema es

$$T=2\pi\sqrt{\frac{Lm}{Kqq'}}\,r^{n/2}\, ,$$ (17)

si las oscilaciones son pequeñas.

Ahora tenemos que despejar primeramente el número entero n que aparece como exponente de r en la relación (17). Puesto que ${\displaystyle 2\pi\sqrt{\frac{Lm}{Kqq'}}}$ es una constante, tenemos que buscar un n entero tal que ${\displaystyle \frac{T}{r^{n/2}}}$ permanezca constante también. Con los datos experimentales que tenemos, construimos la siguiente tabla:

	r (en m)	0.6	0.65	0.7	0.75	0.8	0.85	0.9	0.95	1
	T (en s)	0.84	0.94	1.00	1.08	1.12	1.22	1.30	1.38	1.43
n=1	$T/\sqrt{r}$	1.08	1.17	1.20	1.25	1.25	1.32	1.37	1.42	1.43
n=2	$T/r$	1.40	1.45	1.43	1.44	1.40	1.44	1.44	1.45	1.43
n=3	$T/r^{3/2}$	1.81	1.79	1.71	1.66	1.57	1.56	1.52	1.49	1.43

Por supuesto que no hace falta que hagas todos los cálculos de la tabla anterior, basta con que tomes dos o tres valores: p.ej. los correspondientes a r=0.6 m, r=0.8 m y r=1 m. De los datos de esta tabla vemos que para n=1 $T/\sqrt{r}$ no permanece constante al incrementar r. Y otro tanto ocurre para n=3. Sólo para n=2 se ve que T/r permanece aproximadamente constante para cualquier valor de r: por lo tanto n=2. Teniendo en cuenta (17) obtenemos ${\displaystyle 1.43~{\rm m/s}\approx\frac Tr=2\pi\sqrt{\frac{Lm}{Kqq'}}}$, de donde, utilizando los datos al final del enunciado, se llega a

$$K=4\pi^2\frac{Lm}{qq'}\frac{1}{1.43^2}=9.7\times 10^9~{\rm Nm}^2/{\rm C}^2\, ,$$ (18)

que es bastante parecido al valor real de ${9\times 10^9~{\rm Nm}^2/{\rm C}^2}$.

Otra forma más elegante de resolver este problema sin necesidad de elaborar la tabla anterior es utilizando el método que se explica en la página dedicada a trucos para resolver problemas de olimpiada: como lo que queremos despejar es un exponente desnocido, entonces representamos en el eje vertical el logaritmo del periodo y en el eje horizontal el logaritmo de la distancia, obteniendo la gráfica de arriba. De acuerdo con (17), tenemos por otra parte que

$$\log (T)=\log\left(2\pi\sqrt{\frac{Lm}{Kqq'}}\right) +\frac n2\,\log(r)\, ,$$ (19)

luego los datos de la anterior gráfica estarán sobre una recta de pendiente n/2 (de donde despejamos n) y tal recta, para un valor de abcisa igual a 0, corta al eje vertical en un valor igual a ${\displaystyle \,\log\left(2\pi\sqrt{\frac{Lm}{Kqq'}}\right)}$ (de donde despejamos K). Esta pendiente se puede calcular tomando una pareja de puntos y viendo cuál es la tangente trigonométrica de la inclinación de la recta, que sale aproximadamente 1; y el término constante donde la recta corta al eje vertical para un valor de la abcisa iguial a 0 es aproximadamente 0.16

$$\left\{\hspace{-1mm}\begin{array}{lcl} {\displaystyle 1\appr... ...6}=9.5\times 10^9~{\rm Nm}^2/{\rm C}^2}\, . \end{array}\right.$$ (20)