Problemas de interferencia: 23-32, 43

${\displaystyle \mbox{desfase}\;\; \delta=\frac{2\pi}{\lambda} \Delta s}\quad\m... ... &\hspace{-2mm}=\hspace{-2mm}& \mbox{long. onda en el medio} \end{array}\right.$

P.23 Sólo en los casos de reflexión (caso b) y caso e)) los pares de fuentes son coherentes.

P.24 Para este problema, cuando se habla del rayo ``rojo'' y del rayo ``verde'' no se refiere a dos longitudes de onda distintas sino que, siempre con la misma longitud de onda, el rayo ``rojo'' es el reflejado en la primera superficie de separación y el rayo ``verde'' es el reflejado en la segunda. Recordar que para una superficie que separa dos medios con índice de refracción distintos, cuando la reflexión en tal superficie tiene lugar dentro del medio donde la luz se propaga más rápidamente (en el medio de menor índice de refracción) entonces el rayo reflejado lleva un desfase de $\pi {\rm radianes}\equiv 180^\circ$ con respecto al rayo incidente. O si queremos expresar este desfase como diferencia de camino, el rayo reflejado lleva una diferencia de camino igual a $\lambda/2$ con respecto al rayo incidente. Notar que la longitud de onda cambia dependiendo del índice de refracción del medio: si denotamos por $\lambda_0$ la longitud de onda de la luz en el vacío, la longitud de onda $\lambda_1$ dentro del recubrimiento viene dada por

$$n_{\scriptscriptstyle \rm recubrimiento} =\frac{c_{\scriptsc... ...\frac{\lambda_0}{n_{\scriptscriptstyle \rm recubrimiento}} ,$$

En el caso del problema (ver figura), puesto que las dos reflexiones tienen lugar en la superficie que separa un medio de menor índice (aire para el rayo ``rojo'', recubrimiento para el rayo ``verde'') de uno de mayor índice (recubrimiento para el rayo ``rojo'', vidrio para el rayo ``verde''), entonces el desfase $\delta=\pi$ de la reflexión se aplica a cada uno de los rayos reflejados

$$\delta=\underbrace{\left(\frac{2\pi}{\lambda_1}(h+h)+\pi\rig... ...race{\pi}_{\mbox{para \lq\lq rojo''}} =2\pi\frac{2h}{\lambda_1} .$$ (32)

Para que el desfase entre la onda reflejada en la primera superficie (rayo ``rojo'') y la onda reflejada en la segunda superficie (rayo ``verde'') sea destructiva, entonces se tiene que cumplir que el desfase (32) sea igual a

$$\delta=2\pi\frac{2h}{\lambda_1}=\pi,3\pi,5\pi,\ldots=(2m+1)\pi ,\quad m=0,1,2,\ldots$$ (33)

y de ahí, los espesores $h_m$ del recubrimiento para interferencia destructiva cumplen

$$h_m=(2m+1)\frac{\lambda_1}{4}=(2m+1)\frac{\lambda_0} {4n_{\scriptscriptstyle \rm recubrimiento}} ,\quad m=0,1,2,\ldots$$ (34)

siendo $\lambda_0$ la longitud de onda en el vacío y $n_{\scriptscriptstyle \rm recubrimiento}$ el índice de refracción del recubrimiento. Para $n_{\scriptscriptstyle \rm recubrimiento}$=1.3 y $\lambda_0$=600nm obtenemos

$$\begin{array}{rcll} h_0 &\hspace{-2mm}=\hspace{-2mm}& 115{\r... ...75{\rm nm} & m=2\\ \ldots &&\ldots\ldots & \ldots \end{array}$$

P.25 A partir de la ecuación que relaciona el desfase (medido en radianes) con la diferencia de camino, ${\displaystyle \delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta s}$, un desfase de 180 grados ($\pi$ radianes) corresponde a una diferencia de camino $\Delta s=\lambda/2$. Para una longitud de onda de 600nm esta diferencia de camino es entonces 300nm. Este misma diferencia de camino para una longitud de onda $\lambda'=800 {\rm nm}$ produce un desfase

$$\delta'=\frac{2\pi}{\lambda'}\Delta s=\frac{2\pi}{\lambda'}\frac{\lambda}{2} =\pi \frac{\lambda}{\lambda'} ,$$ (35)

igual a $0.75\pi {\rm radianes}=135^\circ$.

P.26 Puesto que tenemos que $n_{\scriptscriptstyle \rm aire}<n_{\scriptscriptstyle \rm aceite}<n_{\scriptscriptstyle \rm agua}$ como en el problema 24, entonces podemos utilizar el resultado (32) para el desfase entre el rayo reflejado en la superficie aceite-agua y el rayo reflejado en la superficie aire-aceite

$$\delta=2\pi\frac{2h}{\lambda_1} =2\pi\frac{2h n_{\scriptscr... ... aceite}}{\lambda_{\scriptscriptstyle \rm vac\acute{\i}o}} ,$$ (36)

donde h es el espsesor de la gota en el punto donde estamos estudiando la reflexión, y $\lambda_1=\lambda_{\scriptscriptstyle \rm vac\acute{\i}o}/n_{\scriptscriptstyle \rm aceite}$ la longitud de onda de la luz monocromática dentro del aceite. Las franjas de luz (=interferencia constructiva) aparecen cuando el desfase es un número entero m multiplicado por $2\pi$

$$\delta=m 2\pi\quad\Rightarrow\quad h_m =m \frac{\lambda_{\... ...e \rm vac\acute{\i}o}}{2n_{\scriptscriptstyle \rm aceite}} ,$$ (37)

que para la segunda franja intensa (m=2) es igual a h=533nm, si la longitud de onda en el vacío es 650nm.

P.27 Repasemos primero el experimento de la doble rendija: cada rendija difracta la luz monocromática incidente en todas las direcciones. La diferencia de camino $\Delta s$ entre los dos rayos que interfieren en la pantalla a una altura y viene dada aproximadamente por $d {\rm sen} \theta$ si la distancia L entre la rendija y la pantalla es mucho más grande que y.

Para que la interferencia sea constructiva completamente (=máximo de intensidad) se tiene que cumplir entonces que esta diferencia de camino corresponda a un número entero de la longitud de onda de la luz que ilumina la doble rendija

$$d {\rm sen} \theta\approx \Delta s=m\lambda ,\quad m=0,1,2,\ldots$$ (38)

Como el ángulo $\theta$ es normalmente muy pequeño ya que L es mucho mayor que y, entonces podemos aproximar ${\displaystyle \theta\approx {\rm sen} \theta\approx\tan\theta=\frac yL}$ y por tanto de (38) obtenemos que la posición $y_m$ del m'ximo de orden m es aproximadamente

$$d \frac{y_m}{L}\approx d {\rm sen} \theta=m\lambda\quad\Rightarrow\quad y_m=m \frac{\lambda L}{d} .$$ (39)

Importante es notar que la distancia sobre la pantalla entre un máximo y el siguiente es simepre constante e igual a

$$y_{m+1}-y_m=\frac{\lambda L}{d} .$$ (40)

Para el problema, la separación entre dos máximos en la pantalla es por tanto igual a ${\displaystyle \frac{600\times 10^{-9} \times 2}{1\times10^{-3}} =1.2\times 10^{-3} {\rm m}}$ o 1.2mm. Luego en 10 milímetros (=1 centímetro) caben 10/1.2=8 máximos.

P.28 Si hay 28 franjas brillantes (=máximos) en 1 centímetro la separación entre dos máximos es 1cm/28. Y aplicando (40) se obtiene que

$$\frac{\lambda L}{d}=\frac{1}{28}\times 10^{-2} {\rm m}\quad\Rightarrow\quad d=5 {\rm mm} ,$$ (41)

para $\lambda$=589nm y L=3m.

P.29 Los fasores es una forma sencilla de representar gráficamente las ecuaciones matemáticas que vamos a estudiar aquí en más detalle. Recordando la relación trigonométrica ${\rm sen} (A+B)=\cos A {\rm sen} B + {\rm sen} A\cos B$, la suma de los tres campos eléctricos, que tiene por forma general ${\displaystyle E_{\scriptscriptstyle \rm resultante} {\rm sen} (\omega t +\delta_{\scriptscriptstyle \rm resultante})}$ se escribe

$$\begin{array}{rclcl} E_1 &\hspace{-2mm}(=)\hspace{-2mm}& & &... ...ta+\cos(2\delta)\hspace{-0.5mm}\right)\hspace{-2mm} \end{array}$$

o usando ${\displaystyle E_{\scriptscriptstyle \rm res} {\rm sen} (\omega t+\delta_{\sc... ...ptstyle \rm res} {\rm sen} (\omega t)\cos\delta_{\scriptscriptstyle \rm res}}$ se obtiene las siguientes ecuaciones igualando los términos conteniendo $\cos(\omega t)$, y los términos conteniendo ${\rm sen} (\omega t)$,

$$\begin{array}{lrclcl} \mbox{ec. 1}: & E_{\scriptscriptstyle ... ...hspace{-2mm}=\hspace{-2mm}& E_0^2 (1+2\cos\delta)^2\end{array}$$ (42)

Hay que notar que en la deducción de la ecuación para $\tan\delta_{\scriptscriptstyle \rm res}$ se ha supuesto que $1+2\cos\delta\neq 0$; si esto no se cumple, entonces $\delta_{\scriptscriptstyle \rm res}=0$.

P.30 y P.32 De acuerdo con el problema 27, si la distancia L a la pantalla es lo suficientemente grande comparada con la posición y sobre la pantalla, entonce ls diferencia de camino para dos rayos consecutivos es ${\displaystyle \Delta s\approx d {\rm sen} \theta\approx d \frac yL}$, y por lo tanto, el desfase correspondiente es

$$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta s\approx \frac{2\pi}{\lambda} \frac{yd}{L} .$$ (43)

Ahora utilizamos el resultado (42) del problema anterior: la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado del campo eléctrico, que es igual a

$$E^2_{\scriptscriptstyle \rm res}=E_0^2 (1+2\cos\delta)^2 ,$$ (44)

con ${\displaystyle \delta=\frac{2\pi}{\lambda} \frac{yd}{L}}$ para tres rendijas. De la ecuación (44) está claro que la intensidad será cero (=mínimo) para $\cos\delta=-1/2$, o sea, para

$$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{yd}{L}=\frac{2\pi}{3},\frac... ...{-1mm},\ldots =\frac{2\pi}{3}(1+3m), \frac{2\pi}{3}(2+3m) ,$$

$$y\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm m\acute{\i}... ...} =\frac{\lambda L}{3d}(1+3m), \frac{\lambda L}{3d}(2+3m) ,$$ (45)

con m=0,1,2,...; este es el resultado pedido en el problema 32.

Las posiciones de máximo aparecen para $\cos(2\delta)=+1$, con intensidad $E_{\scriptscriptstyle \rm res}^2=9E_0^2$,

$$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{yd}{L}=0,2\pi,4\pi,\ldots=2\pi m ,$$

$$y\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm m\acute{a}ximo} =\frac{\lambda L}{d} m ,$$ (46)

con m=0,1,2,...; para el problema 31, basta con sustituir d=0.1mm, L=2m y una longitud de onda de 600nm.

P.31 Cuando se tapa una de las rendijas de los extremos, lo que queda son dos rendijas separadas una distancia d. Del resultado (38) del problema 27, tenemos que el máximo de orden m va a aparecer para un ángulo de

$$m\lambda=d {\rm sen} \theta\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{ \scri... ...{5mm}_{ \scriptscriptstyle {\rm m\acute{a}ximo orden }m} ,$$ (47)

donde la aproximación de sustituir el seno del ángulo por el ángulo (medido en radianes) es válida ya que se trata de un ángulo muy pequeño: ${\displaystyle \theta=\frac{0.6^\circ}{180^\circ} \pi =0.01 {\rm radianes}}$. El que este ángulo esté medido desde la rendija del centro o desde el punto medio entre dos rendijas no importa para un ángulo tan pequeño. El máximo de cuarto orden aparecerá por tanto para un ángulo de

$$d \theta\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm m\a... ...mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm m\acute{a}ximo orden 1} .$$ (48)

Cuando se cubre la rendija central, volvemos a quedarnos con dos rendijas pero esta vez separadas una distancia 2d. Luego el ángulo para el máximo de orden m vendrá dado por la ecuación (47) pero con d sustituida por d'=2d

$$m\lambda=(2d) {\rm sen} \theta' \rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\... ....2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle {\rm m\acute{a}ximo orden }m}$$

luego

$$\theta' \rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle {\rm m\a... ...}{5mm}_{\scriptscriptstyle {\rm m\acute{a}ximo orden }m} .$$ (49)

Por lo tanto, el máximo de orden 8 para esta segunda doble rendija aparece para un ángulo en el que se observaría el máximo de orden 4 en la primera doble rendija ya que

$$\theta\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle {\rm m\acu... ...}{5mm}_{\scriptscriptstyle {\rm m\acute{a}ximo orden }8} .$$ (50)

P.43 Puesto que las dos fuentes son coherentes, el efecto del montaje del problema es el de un experimento de doble rendija, con las dos rendijas separadas una distancia $d=\lambda/2$. Si la pantalla está lo suficientemente alejada, la diferencia de camino entre los dos rayos emitidos por cada foco es aproximadamente $d {\rm sen} \theta$, siendo este último resultado exacto si los dos rayos son paralelos y se llevan a interferir sobre la pantalla a través de un telescopio.

En general, dos fuentes coherentes que tienen entre sí una diferencia de fase igual a $\delta$ producen en el punto en el que interfieren una intensidad

$$I_{\scriptscriptstyle \rm resultante}=2I_0\cos^2\hspace{-1mm}\left(\frac\delta 2\right) =I_0(1+\cos\delta) ,$$ (51)

siendo $I_0$ la intensidad que emite cada fuente. Una manera sencilla de ``ver'' este resultado es notar que: si las dos fuentes están completamente en fase, entonces sus intensidades se suman simplemente, algo que se obtiene también de la ecuación (51) para $\delta=0,2\pi,\ldots$; por el contrario, si están desfasadas en $\pi$ radianes, la interferencia es completamente destructiva y la intensidad resultante es cero. En este problema, el desfase $\delta$ correspondiente a la diferencia de camino entre los dos rayos viene dado por

$$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}d {\rm sen} \theta=\pi {\rm sen} \theta .$$ (52)

y la intensidad resultante en la pantalla es por tanto

$$I_{\scriptscriptstyle \rm resultante} =2I_0\cos^2\hspace{-1mm}\left(\frac{\pi {\rm sen} \theta}{2}\right) ,$$ (53)

cuya gráfica en representación polar es la siguiente: