Problemas de difracción: 33-42

Repaso de la difracción de Fraunhofer para una única rendija: una luz monocromática de longitud de onda $\lambda$ incide sobre una rendija, de anchura a no muy grande, que difracta la luz en todas las direcciones. Consideremos una dirección $\theta$ que cumpla que $a {\rm sen} \theta=\lambda$: de la figura se ve claramente que el rayo difractado justo en el borde superior de la rendija interfiere destructivamente (=está desfasado en media longitud de onda) con el rayo difractado en la mitad de la rendija; y este rayo a su vez interfiere destructivamente con el rayo difractado en el borde inferior de la rendija.

De ello se deduce que en la dirección $\theta$ considerada habrá un cero en la intensidad de la luz difractada. Si ahora consideramos otro ángulo $\theta'$ que cumpla $a {\rm sen} \theta'=2\lambda$, tendremos un caso similar: el rayo difractado en el borde superior interfiere destructivamente con el rayo difractado una distancia a/4 más abajo; este segundo rayo interfiere destructivamente con el rayo difractado en la mitad de la rendija; éste a su vez, destructivamente con el rayo difractado una distancia a/4 más abajo; y finalmente, este último rayo interfiere destructivamente con el rayo difractado en el borde inferior. Generalizando, la condición de intensidad cero para la difracción de luz monocromática por una rendija de anchura a es

$$a {\rm sen} \theta\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm intensidad 0}=m\lambda , \quad m=1,2,3,\ldots$$ (54)

Importante. No confundir la rendija única de anchura a, que es lo que acabamos de ver, con la doble rendija formada por dos rendijas separadas una distancia d o con la generalización de la doble rendija, la red de difracción: mientras que $a\sin\theta=m\lambda$ (con m entero distinto de cero) indica los ángulos para intensidad cero en la difracción de Fraunhofer, la relación $d\sin\theta=m\lambda$ (con m entero cualquiera) da los ángulos para máximo en una doble rendija o en una red de difracción.

En la ecuación (54) acabamos de ver la condición para intensidad cero en la luz difractada por una rendija (infinitamente larga) de anchura a. Para un ángulo $\theta=0$ tal condición no se cumple, ya que no hay ningún desfase entre los rayos que salen de cada punto de la rendija. Luego para $\theta=0$ habrá un máximo de intensidad, llamado máximo principal. La distancia sobre una pantalla (suficientemente alejada) entre el máximo principal y el primer mínimo ocurre para un ángulo ${\displaystyle \theta\approx {\rm sen} \theta=\frac \lambda a}$. De acuerdo con el criterio de Rayleigh, este ángulo también corresponde al ángulo más pequeño que dos rendijas pueden estar separadas de forma que sobre la pantalla podamos resolver las dos rendijas. Esto se llama la separación angular crítica o el ángulo límite de resolución

$$\theta_{\scriptscriptstyle \rm m\acute{\i}nimo resuelto}=\frac\lambda a .$$ (55)

Si en cambio de ser una rendija de anchura a tenemos una abertura circular de diámetro D, el resultado para el ángulo límite de resolución es muy parecio a (55) pero introduciendo un factor de 1.22

$$\theta_{\scriptscriptstyle \rm m\acute{\i}nimo resuelto}= 1.22 \frac\lambda D ,$$ (56)

debido a la forma circular de la abertura.

P.33 Para una única rendija de anchura a, las posiciones de mínimo en la pantalla aparecen para ángulos $\theta$ que cumplen ${\displaystyle a {\rm sen} \theta=\lambda, 2\lambda \ldots=m\lambda}$. Por otra parte, el ángulo $\theta$ que apunta hacia el punto sobre la pantalla donde aparece el mínimo de orden m, punto que está a una distancia $y_m$ medida desde el centro de la pantalla (el centro de la pantalla se toma como el punto de corte con la pantalla de la normal trazada a la rendija), viene dado por ${\displaystyle \tan\theta=\frac{y_m}{L}}$, con L la distancia entre la rendija y la pantalla. Para una distancia sobre la pantalla mucho más pequeña que L, se puede escribir ${\displaystyle \theta\approx {\rm sen} \theta\approx\tan\theta=\frac{y_m}{L}}$. El primer cero de intensidad en la derecha aparece para una posición sobre la pantalla de

$$\underbrace{\theta_{\scriptscriptstyle \rm 1er m\acute{\i}n... ...scriptscriptstyle \rm 1er m\acute{\i}nimo}=\frac\lambda a ,$$

luego la distancia entre el primer mínimo a la derecha y el primer mínimo a la izquierda viene dada por

$$2y_1 \approx 2\frac{\lambda L}{a} ,$$ (57)

que es igual a 1.7cm para los datos del problema.

P.34 La primera cuestión está contestada en el problema anterior: la anchura del máximo central es la distancia entre el primer mínimo a la derecha y el primer mínimo a la izquierda, distancia dada por (57). Si ahora la anchura de la rendija que abrimos sobre la pantalla es ${\displaystyle a'=\frac{2\lambda L}{a}}$, entonces la anchura del máximo sobre un plano colocado sobre la primera rendija es

$$2y'_1\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm sobre ... ...} =2\frac{\lambda L}{\displaystyle \frac{2\lambda L}{a}}=a ,$$ (58)

utilizando otra vez el resultado (57).

P.35 Para una abertura circular de diámetro D=0.1mm iluminada por una luz de longitud de onda $\lambda$=700nm, el ángulo bajo el que se ve el primer mínimo viene dado por (54) con la corrección de incluir el factor 1.22 correspondiente a una abertura circular

$$\underbrace{\theta_{\scriptscriptstyle \rm 1er m\acute{\i}n... ...scriptstyle \rm 1er m\acute{\i}nimo}=1.22 \frac\lambda D ,$$ (59)

donde $y_1$ es la posición de este mínimo sobre una pantalla alejada una distancia L=8m. El resultado para los datos del porblema es $\theta_{\scriptscriptstyle \rm 1er m\acute{\i}nimo}=8.5\times 10^{-3} {\rm radianes}=29'$ e y=7cm.

P.36 La separación entre los faros es y=112cm y el ángulo bajo el que vemos los dos focos a una distancia L es approximadamente $\theta$=y/L. Por lo tanto el ángulo mínimo que pueden estar separados, o lo que es lo mismo, la mayor distancia L posible a la que los podemos observar a través del ojo (una abertura circular de diámetro D=5mm), viene dada por (56)

$$\frac{y}{L_{\scriptscriptstyle \rm max}}\approx 1.22\frac \l... ...scriptscriptstyle \rm max}\approx \frac{yD}{1.22 \lambda} ,$$ (60)

distancia igual a 8.35km para una longitud de onda de 550nm.

P.37 y P.38 Repaso del funcionamiento de la red de difracción aquí. Todas las longitudes de onda de una luz incidente perpendicularmente sobre una red de difracción es difractada en todas las direcciones. Para una longitud de onda determinada $\lambda$, en aquellas direcciones en la que se cumpla

$$d {\rm sen} \theta=m\lambda ,\quad m=0,1,2,\ldots ,$$ (61)

tendremos interferencia constructiva entre todos los rayos difractados y por tanto una línea intensa del color correspondiente a la longitud de onda $\lambda$; d es la separación entre rendijas de la red. Para la misma longitud de onda, en las direcciones en las que no se cumpla la condicón (61) no se verá el color de tal $\lambda$.

Para el problema 37, la separación entre dos rendijas en la red es d=1cm/2000. Aplicando (61) se obtiene que en el primer orden (m=1) la línea para $\lambda$=410nm se verá para un ángulo de 4 grados y 42 minutos, y de 4 grados y 59 minutos para la otra línea.

En el problema 38 la longitud de onda en primer orden es 486nm para un ángulo de 0.0972 radianes, y de 660nm para el otro ángulo.

P.39 Volviendo a utilizar la ecuación de interferencia constructiva, ${\displaystyle d {\rm sen} \theta=m\lambda}$, para la red de difracción, obtenemos que en primer orden (m=1) para una red con d=1cm/2000

$$\theta={\rm arcsen}\left(\frac\lambda d\right) ,$$ (62)

el ángulo para $\lambda$=579.0nm es 6 grados 39 minutos; y para la otra línea amarilla del mercurio, el ángulo es 6 grados 38 minutos. Para poder resolver estas íneas necesitamos un poder de resolución

$$\mbox{resoluci\'on} =\frac{\lambda}{\vert\Delta\lambda\vert}=\frac{579}{579-577}\approx 290 ,$$ (63)

y puesto que el poder de resolución que nos da una red de difracción es igual al orden m en el que estemos trabajando multiplicado por el número N de rendijas iluminadas, entonces en primer orden m=1 necesitamos que estén iluminadas por lo menos mN=N=290 rendijas, es decir, el haz de luz debe tener un ancho de por lo menos 290/2000 centímetros.

P.40 En una red de difracción, el máximo ángulo de difracción es 90 grados, es decir, cuando el rayo difractado sale tangente a la red. En orden m, tal ángulo corresponde a una longitud de onda

$$d {\rm sen} (\theta=90^\circ)=m\lambda\quad \Rightarrow\quad \lambda=\frac dm ,$$ (64)

igual a 500nm para una red con d=1cm/4000 en quinto orden.

P.41 Puesto que la resolución es igual al número de orden multiplicado por el número de rendijas de la red iluminadas (se considera que se está iluminando toda la red), en nuestro caso en que la resolución es 22000 en el cuarto orden, el número de rendijas es 22000/4=5500, que hay por cada 5cm de lado. Luego la distancia entre rendijas es d=5cm/5500 y el ángulo en cuarto orden para la longitud de onda dada es

$$\theta={\rm arcsen}\left(\frac{m\lambda}{d}\right)=12^\circ 58' .$$ (65)

P.42 Como se ve en la figura, la diferencia de camino entre dos rayos difractados en dos rendijas consecutivas es $d {\rm sen} \phi+d {\rm sen} \theta$.

De acuerdo a cómo se dedujo el funcionamiento de la red de difracción, en la dirección $\theta$ en la que se ve una línea intensa de color correspondiente a la longitud de onda $\lambda$ se produce interferencia constructiva entre los rayos difractados, luego

$$d {\rm sen} \phi+d {\rm sen} \theta=m\lambda ,$$ (66)

que es el resultado pedido.