Problemas de aplicación de la Fuerza de Lorentz: 33-40

${\displaystyle d\vec{F}=I d\vec{l}\times\vec{B}\quad \mbox{y}\quad \vec{F}=q_{\scriptscriptstyle \rm particula} \vec{v}\times\vec{B}}$

P.33 Tenemos un campo magnético $\vec{B}$ de módulo constante B=3.6T y apuntando hacia dentro de la página. Si por el conductor de la figura, que tiene una densidad de masa $\lambda=0.04{\rm kg/m}$, circula una corriente $I$ en sentido de izquierda a derecha, la fuerza que está ejerciendo el campo magnético sobre un elemento diferencial de longitud $d\vec{l}$ del conductor es igual a

$$d\vec{F}=I d\vec{l}\times\vec{B} ,$$

que tiene módulo $IBdl$ y sentido vertical hacia arriba. La fuerza total debida al campo magnético que actúa sobre el conductor es entonces ${\displaystyle IBl}$, con $l$ la longitud del conductor. Si esta fuerza tiene que equilibrar el peso del conductor para que así no haya tensión en las cuerdas, entonces

$$IBl=\mbox{Peso}=l\lambda g ,$$ (56)

de donde se despeja $I$.

P.34 El campo magnético creado por un conductor rectilíneo infinito a una distancia r en perpendicular al conductor es igual a ${\displaystyle B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}}$; esto se calcula por la Ley de Ampère como en los problemas 30 y 31, o bien por aplicación directa de la Ley de Biot-Savart como en el problema 28. La fuerza que está haciendo el conductor infinito a un elemento $d\vec{l}$ de otro conductor paralelo a una distancia r=2mm es igual a ${\displaystyle dF=BI_2dl= \frac{\mu_0 I I_2 dl}{2\pi r}}$, donde $I_2=I$ es la corriente que circula por este segundo conductor; la dirección de $d\vec{F}$ es radial. Si este último conductor tiene una longitud L=30cm entonces la fuerza total ejerciada sobre él es

$$F_{\scriptscriptstyle {\rm hace }I {\rm sobre }I_2}= \frac{\mu_0 I I_2 L}{2\pi r} .$$

Si tal fuerza debe equilibrar el peso $mg$ del conductor de longitud L, entonces

$$I=\sqrt{\frac{2\pi r m g}{\mu_0 L}} ,$$ (57)

con m=2.4g.

35 La fuerza ejercida sobre el segmento paralelo al eje X, que tiene una longitud de $s_1=3{\rm cm}$ es igual a

$$\vec{F}_{\scriptscriptstyle {\rm sobre }s_1}=\left\vert\beg... ...& 0 & 0\\ 0 & 0 & B\end{array}\right\vert=-Is_1B \hat{j} ,$$

donde $\vec{B}=B \hat{k}=1.2{\rm T} \hat{k}$ e I=1.8A. La fuerza ejercida sobre el segmento vertical paralelo al eje Y y con longitud $s_2=4{\rm cm}$ se calcula de la misma forma

$$\vec{F}_{\scriptscriptstyle {\rm sobre }s_2}=\left\vert\beg... ...Is_2 & 0\\ 0 & 0 & B\end{array}\right\vert=Is_2B \hat{i} .$$

Y la fuerza sobre el segmento recto que va de a a b, que viene dado por el vector de desplazamiento $\vec{s}=s_1\hat{i}+s_2\hat{j}=3{\rm cm} \hat{i}+4{\rm cm} \hat{j}$, viene dada por

$$\vec{F}_{\scriptscriptstyle {\rm sobre }s}=\left\vert\begin... ... 0 & B\end{array}\right\vert=Is_2B \hat{i}-Is_1B \hat{j} ,$$ (58)

que es la suma de $\vec{F}_{\scriptscriptstyle {\rm sobre }s_2}$ y $\vec{F}_{\scriptscriptstyle {\rm sobre }s_1}$. Notar que a lo largo de todo este problema se ha estado utilizando la ecuación de la fuerza de Lorentz $d\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B}$ que, puesto que los tres factores son constantes, se puede integrar inmediatamente: ${\displaystyle \vec{F}=I\vec{l}\times\vec{B}}$.

P.36 Puesto que tanto $I$ como el vector $\vec{B}$ son constantes, entonces

$$\vec{F}=\int_{\scriptscriptstyle \rm inicial}^{\scriptscript... ...l}d\vec{l} \right)}_{\displaystyle \vec{L}} \times\vec{B} ,$$ (59)

donde $\vec{L}$ es el vector de desplazamiento que va de a a b.

P.37 El campo magnético creado por el conductor infinito a una distancia r en perpendicular de él ya ha sido calculado varias veces y es igual a ${\displaystyle B=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r}}$, con $I_1=20{\rm A}$; su sentido es hacia afuera a la parte izquierda del conductor, y hacia adentro a la derecha de él. Para cada uno los 2 tramos paralelos al conductor infinito, la fuerza se calcula inmediatamente ya que el campo magnético creado por el conductor infinito es igual en todos los puntos de cada tramo: así

• Fuerza sobre el tramo a una distancia a=2cm: ${\displaystyle \vec{F}_1=-\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi a}L \hat{i}}$, donde L=10cm es la longitud del tramo e $I_2=5{\rm A}$ es la intensidad que circula por él.
• Fuerza sobre el tramo paralelo a una distancia b=2+5cm: ${\displaystyle \vec{F}_3=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi b}L \hat{i}}$.

En el caso de los dos tramos perpendiculares, puesto que cada uno de sus puntos está a una distancia r diferente del conductor infinito, tenemos que la fuerza va a ser

$$F_2=\int_{r=a}^{r=b}I_2 dr B(r)= \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\... ...{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi}\ln\hspace{-1mm}\left(\frac ba\right) .$$

Su sentido es en vertical hacia arriba para el tramo de arriba, e igual pero en sentido contrario para el tramo de abajo. La suma de las fuerzas sobre los cuatro lados es

$$\vec{F}_{\scriptscriptstyle \rm total}=\frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi} \left(-\frac 1 a+\frac 1b\right)\hat{i} .$$ (60)

P.38 y P.40 Una partícula de carga q moviéndose con una velocidad $\vec{v}$ (por ejemplo hacia la derecha en esta hoja) dentro de un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad (por ejemplo hacia adentro de esta hoja) esta sometida a una fuerza igual a $\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}$, que lleva dirección perpendicular tanto a $\vec{v}$ como a $\vec{B}$ (en nuestro caso, hacia arriba de la página). Esta fuerza no hace trabajo ya que es perpendicular a la velocidad y por tanto a un desplazamiento $d\vec{s}=\vec{v} dt$: así la fuerza no varía la energía cinética de la partícula, no varía el módulo de su velocidad. Esta fuerza es una fuerza centrípeta y por tanto el radio R de la trayectoria circular que va a llevar la partícula está relacionado con su velocidad de acuerdo con

$$F=qvB=m a_{\scriptscriptstyle \rm centr}=m\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad v=\frac{qB}{m} R .$$ (61)

El tiempo que tarda en dar una vuelta, o sea, el período del movimiento circular, es

$$T=\frac{2\pi R}{v}=2\pi\frac{m}{qB} .$$ (62)

Y la energía cinética de la partícula cargada

$$E_{\scriptscriptstyle \rm cin}=\frac m2 v^2=\frac{q^2B^2}{2m}R^2 ,$$ (63)

que es proporcional al radio al cuadrado de la órbita circular. Para el problema 38 basta con sustituir R=65cm, $q=1.6\times 10^{-19}{\rm C}$, B=0.75T y $m=1.673\times 10^{-27}{\rm kg}$.

P.39 La velocidad tiene una componente $v\cos\theta$ paralela a la dirección de $\vec{B}$, componente sobre la que no actúa la Fuerza de Lorentz (el producto vectorial de esta componente de la velocidad por el vector $\vec{B}$ es cero al ser los dos vectores paralelos) y por tanto, componente que no cambia en módulo. La componente de la velocidad perpendicular al campo magnético, esto es $v{\rm sin}\/\theta$, es la que produce un movimiento circular tal y como hemos visto en el problema anterior. La trayectoria que sigue la partícula por lo tanto es una espiral: la partícula va trazando una circunferencia y a la vez se va desplazando a lo largo de la dirección de $\vec{B}$ con una velocidad $v\cos\theta$. Al cabo de una vuelta, las componentes de la velocidad vuelven a estar en la misma dirección que al inicio, y por la ecuación (62), el tiempo que se requiere para dar esa vuelta es ${\displaystyle 2\pi\frac{m}{qB}}$, tiempo durante el que la partícula cargada se ha desplazado una distancia

$$s=2\pi\frac{m}{qB} v\cos\theta ,$$ (64)

a lo largo de la dirección del campo magnético.