Problemas de aplicación de la Ley de Ampère: 30-32

${\displaystyle \oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}= \mu_0 I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}}$

P.30 La simetría del campo magnético en este problema es la siguiente: puesto que para puntos alejados de los extremos podemos considerar al cable como infinito, entonces $\vec{B}$ se ``enrolla'' en circunferencias alrededor del cable coaxial, dependiendo su intensidad en un punto P sólo de la distancia que separa a dicho punto del eje del cable. Esto nos permite utilizar la Ley de Ampère, integrando ${\displaystyle \oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}}$ a lo largo de una circunferencia C de radio r que esté puesta perpendicularmente al cable y con centro en el cable. De esta forma, y por lo dicho para la simetría de $\vec{B}$ para este problema, podemos escribir

$$\oint_C\vec{B}\cdot d\vec{l}=B\oint_C dl=B2\pi r ,$$

y aplicando la Ley de Ampère a este caso

$$B=\frac{1}{2\pi r}\mu_0 I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C} .$$ (53)

En el caso en que estemos integrando sobre puntos entre el centro y la corteza, la corriente que queda dentro del círculo C es la intensidad $I$ que circula por el cable del centro. Para el caso de que los puntos del camino de integración C estén fuera del cable, la intensidad que atraviesa el área de C es cero, ya que tenemos la $I$ que circula por el cable del centro menos la intensidad $I$ que circula por la corteza.

P.31 La simetría del campo magnético $\vec{B}$ es la misma que en el problema anterior y por tanto podemos seguir utilizando el resultado anterior ${\displaystyle B=\frac{1}{2\pi r}\mu_0 I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}}$. Para $r<a$ ningún punto en el interior de C es atravesado por corriente y por tanto ${\displaystyle I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}=0}$. Para $a<r<b$ la fracción de corriente que atraviesa el interior de C es igual a ${\displaystyle \frac{\pi(r^2-a^2)}{\pi(b^2-a^2)}}$ y por tanto ${\displaystyle I_{\scriptscriptstyle {\rm dentro de} C}=\frac{r^2-a^2}{b^2-a^2}I}$. Y para $r>b$, es decir, en el exterior de la corteza, es toda la intensidad $I$ la que atraviesa C. Así

$$B=\left\{\begin{array}{ll} 0 & r<a\\ {\displaystyle \frac{\... ...splaystyle \frac{\mu_0 I}{2\pi r}} & r>b\\ \end{array}\right.$$ (54)

es el campo magnético para los tres casos. En todos ellos, el sentido de $\vec{B}$ es ``retorciéndose'' en circunferencias alrededor del cable.

P.32 Es la práctica de laboratorio de medir el campo magnético terrestre. El campo creado por N espiras de radio R en su centro es igual a

$$B_{\scriptscriptstyle \rm centro espiras}=N\int_{\theta=0}^... ...{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R d\theta}{R^2}=\frac{\mu_0 N I}{2R} ,$$

y puesto que está orientado perpendicularmente al campo magnético terrestre entonces

$$\tan\theta=\frac{B_{\scriptscriptstyle \rm centro espira}}{B_{\scriptscriptstyle \rm terrestre}} ,$$ (55)

de donde se despeja $I$.