Problemas de aplicación de la Ley de Biot-Savart: 25-29

Campo magnético $d\vec{B}$ creado en el punto $\vec{r}$ por un elemento diferencial de circuito $I d\vec{l}$ situado en $\vec{r}'$:

${\displaystyle d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l}\times(\vec{r}-\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert^3}}$

Una integral útil: ${\displaystyle \int\frac{dx}{(x^2+m^2)^{3/2}}=\frac{x}{m^2\sqrt{x^2+m^2}} }$, con $m^2$ una constante.

P.25 El conductor en forma de cigüeñal tiene una longitud a=1cm en el tramo corto vertical y una longitud 2b=2cm en el tramo corto horizontal. Por el condcutor circula una corriente I=8A. El tramo más largo que está alineado con el punto P donde queremos calcular el campo magnético no produce ninguna contribución al campo en P debido al producto vectorial en la definición de ${\displaystyle d\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\vec{l}\times(\vec{r}-\vec{r}')}{\vert\vec{r}-\vec{r}'\vert^3}}$: el elemento diferencial de longitud $d\vec{l}$ de este tramo más largo es paralelo al vector de posición $\vec{r}-\vec{r}'$ que va desde $d\vec{l}$ hasta el punto P.

El campo $\vec{B}$ en P va hacia dentro de la página y es la suma de las contribuciones de cada uno de los tramos cortos. El tramo vertical produce un campo en P igual a ${\displaystyle B_{\scriptscriptstyle \rm tramo vertical}= \int_{y=0}^{y=a}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I b dy}{(y^2+b^2)^{3/2}}}$. Y el horizontal ${\displaystyle B_{\scriptscriptstyle \rm tramo horizontal}= \int_{x=-b}^{x=b}\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I a dx}{(x^2+a^2)^{3/2}}}$. La suma de las contribuciones de los tramos cortos es por tanto

$$B_{\scriptscriptstyle {\rm en} P}= \frac{\mu_0 I}{2\pi\sqrt{a^2+b^2}}\left(\frac ab + \frac ba\right) ,$$ (48)

que es también el campo creado en P por todo el conductor.

P.26 El tramo circular tiene un radio R=20cm y por todo el conductor circula una corriente I=15A. Este problema es más sencillo que el anterior ya que cada elemento diferencial de longitud en el tramo circular es perpendicular al vector de posición $\vec{r}$ que va desde ese elemento a P. Como en el problema anterior, el tramo largo alineado con P no produce ningún campo en P. Éste es igual a

$$B_{\scriptscriptstyle {\rm en} P}=\int_{\theta=0}^{\theta=\... ...ac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R d\theta}{R^2}=\frac{\mu_0 I}{4R} ,$$ (49)

y va hacia dentro de la página.

P.27 Supongamos que la corriente circula por el arco exterior en sentido antihorario. El campo creado por el arco exterior en P va hacia fuera mientras que el creado por el arco interior. Puesto que los dos tramos cortos horizontales alineados con P no producen nada de campo magnético en P, y ya que los radios de cada uno de los arcos es conocido, aplicando el resultado (49) del problema anterior obtenemos

$$B_{\scriptscriptstyle {\rm en} P}=-\frac{\mu_0 I}{4R_1}+\frac{\mu_0 I}{4R_2} ,$$ (50)

siendo la dirección del campo magnético en P hacia dentro de la página.

P.28 La espira circular tiene un radio R=10cm y el campo creado por ella en su centro P tiene un módulo

$$B_{\scriptscriptstyle \rm espira}=\int_{\theta=0}^{\theta=2\... ...ac{\mu_0 I}{4\pi}\frac{R d\theta}{R^2}=\frac{\mu_0 I}{2R} ,$$

y una dirección hacia dentro de la página. El conductor infinito horizontal también crea un campo en P ya que esta vez P no está sobre la línea del conductor como en los tres casos anteriores. El campo creado por el conductor horizontal en P es

$$B_{\scriptscriptstyle \rm tramo horizontal infinito}= \int... ...pi}\frac{I r dx}{(x^2+r^2)^{3/2}} =\frac{\mu_0 I}{2\pi r} ,$$

y va en dirección hacia fuera de la página. La fórmula anterior también se puede obtener aplicando la Ley de Ampere. El campo total creado en P por todo el conductor viene dado por

$$B_{\scriptscriptstyle {\rm en} P}=\frac{\mu_0 I}{2R}-\frac{\mu_0 I}{2\pi r} ,$$ (51)

con dirección hacia dentro de la página. Y por tanto, el valor de r buscado es ${\displaystyle \frac R\pi}$.

P.29 Sólo el tramo horizontal de longitud 2a crea campo magnético en el punto P, mientras que los dos tramos inclinados no lo hacen ya que P está sobre cada una de las líneas prolongación de los tramos inclinados. La contribución del tramo horizontal viene dada por

$${\displaystyle B_{\scriptscriptstyle \rm tramo horizontal}=... ...x^2+R^2)^{3/2}}} =\frac{\mu_0 I}{4\pi R\sqrt{R^2+a^2}}(2a) ,$$

con dirección hacia dentro. Por tanto el campo magnético creado por un polígono cerrado fromado por N lados de longitud 2a cada lado en su centro P será N veces el resultado anterior

$$B_{\scriptscriptstyle {\rm en }P}=\frac{\mu_0 I C}{4\pi R\sqrt{R^2+a^2}} ,$$

donde C=N2a es el perímetro del polígono. Si ahora tomamos el límite ${\displaystyle \left\{\begin{array}{l} N\to\infty a\to 0\end{array}\right.}$ manteniendo el perímetro N2a finito, o sea, convertimos el polígono en una circunferencia, entonces en el resultado anterior obtendremos

$$B_{\scriptscriptstyle {\rm en }P}=\frac{\mu_0 I (2\pi R)}{4\pi R\sqrt{R^2}}= \frac{\mu_0 I}{2R} ,$$ (52)

donde el perímetro del polígono es ahora el perímetro $2\pi R$ de la circunferencia resultante. El resultado que se obtiene es el campo magnético creado por una espira de radio R en su centro.