DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER EN UNA
RENDIJA

En la sección anterior hemos estudiado el patrón de difracción producido por una red formada por un número enorme de rendijas paralelas. Cada una de estas rendijas la hemos supuesto muy, muy estrecha de forma que actúe como un foco puntual emisor de frentes de ondas perfectamente cilíndricos (aunque ahora la anchura de la rendija ya no va a ser cero, seguimos considerando que su longitud es infinita).

Pero qué sucede cuando la rendija no es tan estrecha, aunque siempre manteniendo una anchura que no sea excesivamente grande en comparación con la(s) longitud(es) de onda que llega(n) a la rendija (ya que de lo contrario no habría difracción).

Consideremos el caso de una única rendija de anchura a pequeña pero no despreciable que está iluminada perpendicularmente por una luz puntual monocromática coherente (por ejemplo, la de un láser) de longitud de onda $\lambda$. Esta rendija difracta la luz en todas las direcciones y nosotros observamos la luz que llega desde una dirección $\theta$. Como ahora la rendija no es tan estrecha, la difracción que provoca, aunque se sigue propagando en todas las direcciones ya no es con frentes de onda cilíndricos. De acuerdo con el Principio de Huygens, suponemos que dentro de la anchura de la rendija ``caben'' muchos (infinitos) focos emisores puntuales de frentes de ondas cilíndricos que al superponerse unos con otros dan como resultado el frente de onda de la luz difractada por la rendija. Puesto que la luz que ilumina la rendija es coherente, estos focos emisores están en fase unos con otros; y, repitiendo, la luz que nos llegue a un punto determinado será el resultado de la interferencia entre las ondas emitidas en cada foco contenido dentro del ancho de la rendija. Notar que ahora cada uno de los focos puntuales emisores de ondas cilíndricas no está en diferentes rendijas infinitesimalmente estrechas (como era el caso de la red de difracción) sino dentro de una sola rendija de anchura no despreciable.

Para facilitar más el estudio de este caso vamos a considerar que el punto donde observamos la imagen está muy alejado de la rendija, para que así podamos considerar que los rayos, que van a parar e interfieren en el punto donde colocamos el ojo o el detector, sean prácticamente paralelos. Tal caso se denomina difracción de Fraunhofer para una rendija.

Como se ve en la figura 3, supongamos que la dirección $\theta$ bajo la que llegan los rayos cumple la condición $a\,{\rm sen}\,\theta=\lambda$: en tal caso se ve claramente que el rayo difractado justo en el borde superior de la rendija interfiere destructivamente (=está desfasado en media longitud de onda) con el rayo difractado en la mitad de la rendija; y este rayo a su vez interfiere destructivamente con el rayo difractado en el borde inferior de la rendija.

De ello se deduce que en la dirección $\theta$ considerada habrá un cero en la intensidad de la luz difractada. Si ahora consideramos otro ángulo $\theta'$ que cumpla $a\,{\rm sen}\,\theta'=2\lambda$, tendremos un caso similar: el rayo difractado en el borde superior interfiere destructivamente con el rayo difractado una distancia a/4 más abajo; este segundo rayo interfiere destructivamente con el rayo difractado en la mitad de la rendija; éste a su vez, destructivamente con el rayo difractado una distancia a/4 más abajo; y finalmente, este último rayo interfiere destructivamente con el rayo difractado en el borde inferior. Generalizando, la condición de intensidad cero para la difracción de luz monocromática por una rendija de anchura a es

$$a\,{\rm sen}\,\theta\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm intensidad\;0}=m\lambda\, , \quad m=1,2,3,\ldots$$ (3)

Caso especial es el ángulo $\theta=0$: en tal caso la discusión precedente ya no se cumple puesto que ya no hay ningún desfase entre los rayos que salen de cada foco emisor dentro de la anchura de la rendija. Por ello, para $\theta=0$ habrá un máximo en la intensidad del patrón de interferencia que se forme en el punto de observación; este máximo se llama máximo central.

En la mayoría de los casos cuando se estudia la difracción de Fraunhofer, la situación es la representada en la figura 4, en la que estamos observando el patrón de interferencia sobre una pantalla muy alejada de la rendija. El ángulo $\theta$, en el que llegan los rayos que van a interferir en un punto a una distancia y del máximo central, es lo suficientemente pequeño para poder aproximar su seno por su tangente, con lo que las posiciones $y_m$ sobre la pantalla para intensidad nula es, según (3)

$$m\lambda=a\,{\rm sen}\,\theta\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scrip... ...{\scriptscriptstyle \rm intensidad\;0}= m\frac\lambda a\,L\, .$$ (4)

Importante. Repetimos: no confundir la rendija única de anchura a, que es lo que estamos viendo, con la red de difracción, que está formada por muchísimas rendijas siendo la anchura de cada rendija prácticamente cero. Mientras que $a\sin\theta=m\lambda$ (con m entero distinto de cero) indica los ángulos para intensidad cero en la difracción de Fraunhofer de una única rendija, la relación $d\sin\theta=m\lambda$ (con m entero cualquiera) da los ángulos para máximo en una red de difracción.

La discusión anterior para la difracción de Fraunhofer en una única rendija ha sido, aunque correcta, sólo cualitativa: de hecho, a pesar de saber que dentro de la anchura de la rendija hay infinitos focos emisores de ondas cilíndricas, para la condición de interferencia completamente destructiva sólo hemos considerado tres focos (extremos superior, centro y extremo inferior). Esto es así ya que lo mismo va a ocurrir con un foco un poco por debajo del extremo superior y su correspondiente foco desplazado en la misma distancia por debajo del punto medio. Aun así la discusión anterior sólo nos ha permitido obtener los puntos de intensidad cero, y el máximo central para $\theta=0$. Pero la intensidad para otros ángulos que no sean ni cero ni que cumplan la condición (3) hay que obtenerla por un procedimiento más preciso, y su resultado es

$$I(\theta)=I_0 \left(\frac{\displaystyle \,{\rm sen}\,\left(\... ... a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right)}\right)^2\, ,$$ (5)

donde $I_0$ es la intensidad del máximo central. La deducción de esta fórmula se propone como ejercicio en seis sencillos pasos más adelante. Ahora veamos qué conclusiones se pueden deducir de (5).

• En primer lugar, el resultado cualitativo (3) sigue siendo completamente válido: para $\theta\neq 0$ se cumple que la intensidad es cero para ${\displaystyle \frac{2\pi a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}=\pi,2\pi,3\pi,\ldots}$ o equivalentemente para ${a\,{\rm sen}\,\theta=m\lambda}$ con m=1,2,3,...

• Para $\theta=0$ se cumple que la intensidad es la máxima posible, esto es, la intensidad $I_0$: para valores de $\theta$ que tiendan a cero, el seno que aparece en (5) se puede aproximar por el ángulo ${\displaystyle \,{\rm sen}\,\left(\frac{2\pi a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\the... ...x 0}{\approx} \left(\frac{2\pi a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right)}$ con lo que
  

  $$I(\theta=0)\stackrel{\theta\to 0}{\longrightarrow} I_0\left(... ...lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right)}\right)^2 =I_0\, .$$ (6)

  
  
  Notar que este máximo central para $\theta=0$ ocurre independientemente de la longitud de onda o de la anchura de la rendija.

  

  

• Como se ve de la ecuación (5), la intensidad en un punto sobre la pantalla depende del ángulo $\theta$ que forme tal punto con la perpendicular a la rendija. Para un montaje como en la figura 4 con L=4metros y con $a/\lambda=200$, obtenemos en la pantalla un patrón de interferencia para la difracción por una rendija en la forma de la figura 5. Los mínimos de intensidad cero ocurren, según la relación (4), para ${\displaystyle y=20,40,\ldots\,{\rm mm}}$.

  Sin embargo, la intensidad no sólo depende del ángulo sino también de la anchura de la rendija, como se ve en la figura 6 para tres valores crecientes de la anchura de la rendija frente a la longitud de onda de la luz monocromática que ilumina la rendija. Notar que a medida que aumenta la anchura de la rendija el patrón de tiende a una única mancha puntual central: el punto que corresponde a la fuente puntual coherente (por ejemplo, el láser) que iluminaba la rendija. Esta propiedad se deriva directamente de la ecuación (5): salvo para el ángulo $\theta=0$ -- que como ya sabemos corresponde a la máxima intensidad independientemente de la anchura de la rendija -- el límite de a tendiendo a infinito produce
  

  $$\lim_{a\to\infty}I(\theta\neq 0)=I_0\lim_{a\to\infty} \left(... ...}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right)}\right)^2=0\, ,$$
  
  
  ya que el seno como mucho vale uno mientras que el denominador diverge a infinito (para $\theta\neq 0$). Luego
  

  $$\lim_{a\to\infty}I(\theta)=\left\{\begin{array}{ll} I_0 & \t... ...\\ 0 & \mbox{cualquier $\theta\neq 0$}\, . \end{array}\right.$$ (7)

  
  
  Este resultado es lógico, ya que como sabemos desde el comienzo, la difracción es tanto más clara cuanto más pequeña sea la anchura de la rendija frente a la longitud de onda.

Deducción del resultado (5) en seis pasos

En clase de teoría ya habrás visto que una manera gráfica de visualizar la interfenrencia de muchas ondas es utilizando fasores. En el fondo estos fasores no es otra cosa que el representar números complejos de módulo unidad. Aunque este sistema es bastante inmediato de entender, aquí vamos a utilizar los números complejos directamente, ya que es más cómodo, rápido y exacto. Por otra parte, los siguientes resultados matemáticos que vas a obtener te pueden ser útiles al sumar funciones trigonométricas.

Paso 1

A partir de la definición de una exponencial compleja ${\displaystyle e^{i\delta}\,\stackrel{\scriptscriptstyle \rm def}{=}\,\cos\delta+i\,{\rm sen}\,\delta}$, con ${\displaystyle i=\sqrt{-1}}$, demostrar que el número complejo ${\displaystyle z=e^{i\delta}}$ tiene módulo 1, es decir, que el módulo al cuadrado, definido como ${\displaystyle zz^*}$ siendo $z^*$ el número complejo que resulta de z al cambiar de signo la parte multiplicada por i, es 1.

Paso 2

Demostrar a partir de ${\displaystyle e^{i\delta}=\cos\delta+i\,{\rm sen}\,\delta}$ las siguientes igualdades:

$$\,{\rm sen}\,\delta=\frac{e^{i\delta}-e^{-i\delta}}{2i}\quad\mbox{y}\quad \cos\delta=\frac{e^{i\delta}+e^{-i\delta}}{2}\, .$$ (8)

Paso 3

Utilizando la fórmula para una serie finita de razón r,

$$1+r+r^2+\ldots+r^{N-1}=\sum_{n=0}^{N-1}r^n=\frac{1-r^N}{1-r}\, ,$$

obtener que

$$1+e^{i\delta}+e^{i2\delta}+\ldots+e^{i(N-1)\delta} =\frac{e^... ...i\frac N2\delta}} {e^{i\frac\delta 2}-e^{-i\frac\delta 2}}\, ,$$

y que esto, recordando (8), es igual a

$$1+e^{i\delta}+e^{i2\delta}+\ldots+e^{i(N-1)\delta} =e^{i\fra... ...splaystyle \,{\rm sen}\,\left(\frac\delta 2\right)}\right)\, .$$ (9)

Con el resultado del Paso 1, ver que el módulo al cuadrado de la anterior ecuación (9) es igual a ${\displaystyle \left(\frac{\displaystyle \,{\rm sen}\,\left(\frac N2\delta\right)} {\displaystyle \,{\rm sen}\,\left(\frac\delta 2\right)}\right)^2}$. En los siguientes pasos veremos que este último resultado es precisamente la intensidad de la luz que llega a la pantalla infinitamente alejada de una rendija en la que cabe un número finito N de focos emisores coherentes de frentes de onda cilíndricos

Paso 4

A partir de la definición ${\displaystyle e^{i\delta}=\cos\delta+i\,{\rm sen}\,\delta}$ también podemos escribir

$$\begin{array}{lcccccc} 1+e^{i\delta}+\ldots+e^{i(N-1)\delta}... ...space{-2mm}& i\,{\rm sen}\,\left((N-1)\delta\right) \end{array}$$

donde en la primera línea son todos términos reales mientras que en la segunda línea son todos imaginarios. Por ello, tomando la parte real y la parte imaginaria por separado del resultado (9), demostrar las siguientes relaciones:

$$\hspace{-1cm} \begin{array}{rcl} 1+\cos\delta+\ldots+\cos\le... ...,{\rm sen}\,\left(\frac\delta 2\right)}\right)}\, . \end{array}$$ (10)

Paso 5

Ahora ha llegado ya el momento de aplicar los resultados matemáticos anteriores al problema de la refracción de Fraunhofer para una única rendija. Consideremos por sencillez que la rendija de anchura a está dividida en N segmentos pequños de igual longitud y que cada segmento contiene sólo un foco puntual emisor de ondas cilíndricas; en el siguiente paso se verá como tomar el límite en el que N tiende a infinito de forma que los focos puntuales están infinitesimalmente próximos.

Como se ve en la figura 7, para una dirección $\theta$ en la que llegan los rayos paralelos de cada uno de los focos emisores, el desfase entre dos rayos consecutivos es ${\displaystyle \delta=\frac aN \,{\rm sen}\,\theta\,\frac{\lambda}{2\pi}}$: así si tomamos que ${\displaystyle E=\frac{E_0}{N}\,{\rm sen}\,(\omega t)}$ es la onda difractada por el foco emisor localizado en el primer segmento de longitud a/N, entonces la onda emitida por el siguiente foco está descrita por ${\displaystyle E=\frac{E_0}{N}\,{\rm sen}\,(\omega t+\delta)}$ y así sucesivamente; el significado de $E_0$ se verá un poco más adelante. Notar al aumentar el número de divisiones de la rendija para llegar finalmente a una distribución continua de focos emisores, el desfase y la amplitud de cada onda disminuye.

Sobre la pantalla interfieren todas estas ondas que van desfasadas en $\delta$ una con la siguiente: utilizando la relación ${\,{\rm sen}\,(\alpha+\beta)=\,{\rm sen}\,\alpha\,\cos\beta+\cos\alpha\,\,{\rm sen}\,\beta}$ en las funciones seno que contienen algún desfase, se obtiene que la onda resultante de tal interferencia viene dada por

$$\hspace{-1cm} \begin{array}{lclclcl} {\displaystyle E_{\scri... ..._0}{N}\cos(\omega t)\,{\rm sen}\,((N-1)\delta)\, ,} \end{array}$$

y por tanto, teniendo en cuenta los resultados (10), demostrar que

$$\begin{array}{lcl} E_{\scriptscriptstyle \rm resul}= && {\di... ...n}\,\left(\frac\delta 2\right)}\right) \right]\, ,} \end{array}$$

o lo que es lo mismo

$$E_{\scriptscriptstyle \rm resul}(\theta)= \left[\frac{E_0}{N... ...\,\hspace{-1mm}\left(\omega t+\frac{(N-1)\delta}{2}\right)\, .$$ (11)

La amplitud de la onda resultante sobre la pantalla es por tanto

$$A(\theta)=\left[\frac{E_0}{N} \left(\frac{\displaystyle \,{\... ...i a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right)} \right)\, .$$ (12)

Paso 6

Finalmente tomarás el límite de una distribución continua ( ${\displaystyle N\to\infty}$) de focos puntuales emisores dentro de la anchura de la rendija, que es la situación real. Puesto que el ángulo en el denominador tiende a cero, podemos sustituir su seno por el ángulo mismo, tal y como se ha hecho en la ecuación (6). Demostrar que ${\displaystyle \lim_{N\to\infty}A(\theta)}$ es igual a

$$\lim_{N\to\infty}A(\theta)=E_0\left( \frac{\displaystyle \,{... ...i a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right)} \right)\, ,$$ (13)

y que

$$E_{\scriptscriptstyle \rm resul}(\theta)=E_0\left( \frac{\di... ...frac{2\pi a}{\lambda}\frac{\,{\rm sen}\,\theta}{2}\right) \, .$$ (14)

La intensidad sobre la pantalla, que es el cuadrado del resultado anterior, es entonces igual a la ecuación (5) que queríamos demostrar.

En cuanto al significado de $E_0$ hay que notar que para el caso $\theta=0$ no hay desfase ($\delta=0$) entre cada uno de los rayos que llegan en perpendicular a la pantalla desde cada uno de los focos emisores:

$$E_{\scriptscriptstyle \rm resul}(\theta=0)=N\frac{E_0}{N}\,{\rm sen}\,(\omega t+0) =E_0\,{\rm sen}\,(\omega t)\, ,$$ (15)

Por ello, $E_0$ es la amplitud de la onda correspondiente al máximo central ($\theta=0$) para la difracción de Fraunhofer en una rendija. Y por ello también la amplitud de las ondas emitidas por cada foco puntual situado en el segmento de longitud a/N es $E_0/N$, para que así la amplitud total en el centro sea $E_0$. Notar que ${I_0=E_0^2}$ no es la intensidad de la luz del láser que ilumina la rendija.