INTRODUCCIÓN INFORMAL AL CONCEPTO
DE VELOCIDAD COMO DERIVADA

Para un cuerpo que se mueva como un punto, esto es, que no gire en torno a sí mismo, consideremos que tiene un movimiento rectilíneo, es decir, un movimiento que tiene lugar sólo a lo largo de una dimensión. Si representamos el espacio recorrido por este cuerpo (medido desde un punto de partida fijo) en función del tiempo que transcurre, nos saldrá una gráfica que en general será una curva como la gráfica en negro en la parte izquierda de la figura 1. Supongamos que $s_3$ es el espacio total recorrido por el cuerpo mientras ha estado moviéndose, y $t_3$ el tiempo que ha empleado para recorrer este espacio.

Ahora queremos saber qué velocidad ha tenido este cuerpo móvil para cada instante de tiempo. Una manera muy poco exacta de estimar la velocidad en cada instante de tiempo sería dividir $s_3/t_3$ y asignar ese valor como velocidad del móvil para todo instante de tiempo. Evidentemente, en general el móvil no va a tener una velocidad constante y por tanto la velocidad al cabo de un tiempo $t_1$ no va a ser, en general, la misma que al cabo de un tiempo $t_2$ o $t_3$. De hecho, el suponer que la velocidad se hubiera mantenido constante equivale a decir que la gráfica del espacio s(t) en función del tiempo sería la recta en rojo en la parte izquierda de la figura 1: es claro ver que para esta recta se cumple

$$\frac{s_1}{t_1}=\frac{s_2}{t_2}=\frac{s_3}{t_3}={\rm constante} ,$$ (1)

siendo la constante el valor que tiene la velocidad para cualquier tiempo t. Y por el contrario, un movimiento rectilíneo que no tenga velocidad constante, y por lo tanto sea un movimiento acelerado, tendrá como gráfica de s(t) no una recta sino una curva.

Se ha identificado qué aspecto tiene la representación gráfica de s(t) y también hemos obtenido que el cociente entre el espacio recorrido en un intervalo largo de tiempo y tal tiempo es la velocidad sólo para un movimiento uniforme, sin aceleración de ningún tipo, movimiento al que le corresponde una recta como gráfica de s(t). Queda por obtener cómo se define la velocidad para un movimiento que en general va a tener una aceleración distinta de cero.

Empecemos por refinar el procedimiento de arriba de dividir todo el espacio $s_3$ entre el todo el tiempo $t_3$ que se ha desplazado el móvil: tal procedimiento era poco exacto porque a lo largo del tiempo $t_3$ la velocidad cambiaba de valor. La solución es medir cuánto se desplaza el móvil durante intervalos de tiempo $\Delta t$ lo suficientemente pequeños para poder considerar que durante tal intervalo la velocidad ha permanecido constante. O lo que es lo mismo, en la gráfica de s(t) dividir el eje de tiempo t en intervalos iguales $\Delta t$, de forma que el tramo de la curva s(t) dentro de cada uno de estos intervalos de tiempo se pueda considerar como un segmento recto. Esto es precisamente lo que se ha dibujado en la zona ampliada de la figura 1: en el instante de tiempo $t_0$ se ha tomado un incremento $dt$ muy pequeño de tiempo (algo que en matemáticas se llama un diferencial de tiempo) de tal forma que el segmento de la curva (en negro) entre $t_0$ y $t_0+dt$ puede ser considerado como parte de la recta dibujada en verde. Tal recta en verde se llama recta tangente a la curva en el punto $t_0$, y la pendiente de tal recta -- la pendiente es la tangente del ángulo $\alpha$ que forma la recta con el eje horizontal de abcisas -- viene dada por

$$\mbox{pendiente de la recta tangente en $t_0$}={\rm tg} \alpha =\frac{s(t_0+dt)-s(t_0)}{dt} ,$$ (2)

como se obtiene fácilmente de la figura. Esta pendiente de la recta tangente en $t_0$ se llama derivada de s(t) en el punto $t_0$ y se denota por

$$\mbox{derivada de $s(t)$ en $t_0$}=\frac{ds}{dt}(t=t_0) =\mbox{pendiente de la recta tangente a $s(t)$ en $t_0$} .$$ (3)

Además, puesto que el tramo de la curva s(t) entre los tiempos $t_0$ y $t_0+dt$ se aproxima por un tramo recto, y una recta es la gráfica de un movimiento de velocidad constante, el siguiente valor

$$\frac{\mbox{espacio recorrido entre $t_0$ y $t_0+dt$}}{\mbox{tiempo transcurrido}}=\frac{s(t_0+dt)-s(t_0)}{dt} ,$$ (4)

se puede asignar como valor de la velocidad del móvil en el instante de tiempo $t_0$. Y el mismo procedimiento se puede utilizar para cualquier otro instante de tiempo.

Ahora bien, si comparamos (4) con (2) vemos que ambos resultados coinciden. Y por lo tanto: la velocidad en un instante cualquiera $t_0$ para un móvil cuyo espacio recorrido viene dado por s(t) es igual a la pendiente de la recta que es tangente en $t_0$ a la representación gráfica de s(t). O bien, teniendo en cuenta (3), la velocidad en un instante cualquiera $t_0$ es igual a la derivada de s(t) calculada en $t_0$

$$v(t_0)=\frac{\mbox{espacio recorrido entre $t_0$ y $t_0+dt$... ...o}}=\frac{s(t_0+dt)-s(t_0)}{dt}\equiv \frac{ds}{dt}(t=t_0) .$$ (5)

Así, si tenemos la representación de la curva s(t), una manera gráfica aproximada de estimar la velocidad que tiene el móvil en un instante $t_1$ es trazar la recta tangente a la curva en ese punto $t_1$ y calcular la tangente del ángulo $\alpha_1$ que forma con el eje horizontal. Esto el lo que está representado en la figura 2 para dos instantes de tiempo diferentes. La manera exacta de calcular la velocidad es, con la ecuación de s(t) conocida, obtener su derivada utilizando las reglas de derivación conocidas

$$\begin{array}{llll} s(t)=A & A\;{\rm constante} && {\display... ...aisebox{3.5mm}{}a(t)\right) \frac{da}{dt}(t)} , \end{array}$$ (6)

y sustituir en el instante de tiempo que se quiere estudiar.

De forma análoga, si tenemos la ecuación de la velocidad v(t) de un cuerpo móvil y la representamos gráficamente, la pendiente de la recta tangente a tal gráfica es la derivada de la velocidad, esto es, la aceleración

$$a(t)=\frac{dv}{dt}(t)=\frac{d^2s}{dt^2}(t) ,$$ (7)

aceleración que por tanto es la segunda derivada de s(t). Notar que la aceleración se ha definido como el ritmo de variación de la velocidad a medida que trancurre el tiempo. Puesto que hasta ahora sólo hemos estado estudiando un movimiento en una dirección (rectilíneo), tal cambio de la velocidad sólo puede ser un cambio de su valor o módulo. En un caso más general de movimiento en un plano o en el espacio tridimensional, el cambio de la velocidad puede ser no sólo en módulo sino también en dirección y sentido. En otras palabras, la velocidad es un vector. Y por tanto, aunque el módulo de la velocidad no cambie, si cambia su dirección será porque el movimiento ya es acelerado.