Problema 3

Los datos que hay que representar son:

$\log(r)$	-1	-0.921	-0.854	-0.796	-0.745	-0.699
$\log({\rm tg} \theta)$	0.312	0.092	-0.123	-0.293	-0.493	-0.572
$\log(r)$	-0.658	-0.620	-0.585	-0.553	-0.523
$\log({\rm tg} \theta)$	-0.711	-0.800	-0.911	-1.058	-1.155

cuya representación se puede ver en la siguiente figura.

De acuerdo con la hipótesis, la pendiente de la recta del ${\log({\rm tg} \theta)}$ frente al ${\log(r)}$ es el número entero -n. Puesto que una vez representados estos puntos vemos que están aproximadamente sobre una recta y además la pendiente debe ser un número entero (con lo que no hace flata gran exactitud a la hora de calcular la pendiente), podemos hallar esta pendiente sencillamente tomando dos parejas cualesquiera de valores, por ejemplo, las dos primeras parejas de valores

$$\frac{\log({\rm tg} \theta_2)-\log({\rm tg} \theta_1)} {\log r_2-\log r_1}=-2.79\approx -3 ,\quad\mbox{luego }n=-3 .$$ (6)

Otra forma de hallar la pendiente es de forma gráfica: después de dibujar todos los puntos correspondientes a las medidas, se traza a ``ojo'' y con una regla la recta que pase lo más próximo posible a todos los puntos. La pendiente de dicha recta se obtiene midiendo el ángulo que forma dicha recta con la horizontal: la pendiente será la tangente trigonométrica de dicho ángulo, si es que se ha utilizado la misma escala en el eje vertical y en el eje horizontal, o bien, la pendiente será dicho número multiplicado por k si es que la separación entre puntos del eje vertical es k-veces más grnade que la del eje horizontal. Como antes, el valor de n será el número entero más próximo al valor absoluto de la pendiente.

Por otra parte sabemos que ${\log(K/B_T)=\log({\rm tg} \theta)+n\log(r)}$. Tomando el valor de ${\log({\rm tg} \theta)}$ correspondiente a uno de los valores de ${\log(r)}$ cualquiera, por ejemplo el valor donde la gráfica anterior corta al eje vertical para ${\log(r)=-1}$ (r=0.1), y puesto que ya tenemos el valor de n, despejamos inmediatamente:

$$\log(K/B_T)=-2.71\;\Rightarrow\; K=10^{-2.71}\times B_T=4.7\times 10^{-8} {\rm T} .$$ (7)

Suponiendo que podemos aproximar el imán por un dipolo $\vec{m}$ de dimensiones despreciables y ya que para este experimento el vector $\vec{r}$ y el vector $\vec{m}$ son paralelos, entonces tenemos ${\vec{m}\cdot\vec{r}=mr}$ y así:

$$\vec{B}_m=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2m}{r^4}\vec{r} .$$

El módulo del campo magnético creado por el imán es por tanto igual a ${\displaystyle B_m=\frac{2\mu_0 m}{4\pi}\frac{1}{r^3}}$ y comparando este resultado con la hipótesis del comienzo ${\displaystyle B_m=\frac{K}{r^n}}$ vemos que n es 3, como ya hemos obtenido. Como ${\displaystyle K=\frac{2\mu_0 m}{4\pi}}$, el momento dipolar m es igual a

$$m=\frac{4\pi}{\mu_0}\frac{4.7\times 10^{-8} {\rm T}}{2}= 0.235 {\rm J T^{-1}} .$$ (8)