Problema 2

Puesto que el diámetro de la nube, que es igual a 10 km, es un orden de magnitud mayor que la separación entre la nube y la superficie terrestre (y la superficie terrestre se puede considerar prácticamente infinita en extensión), se puede aproximar el sistema tierra+nube a un condensador plano de placas paralelas. En tal condensador, el campo electrostático creado por cada una de las placas es igual a (utilizando el teorema de Gauss) ${\displaystyle E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}}$, donde $\sigma$ es la densidad superficial de carga; suponemos que el aire entre la nube y la tierra funciona como si fuera el vacío. La tierra crea dicho campo apuntando hacia arriba en el espacio entre la tierra y la nube, y la base de la nube (cargada negativamente) crea este mismo campo y en la misma direccióny sentido para el espacio entre ella y la tierra. Por tanto el campo electrostático que hay entre la tierra y la nube es igual a ${\displaystyle E=2\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=10^4 {\rm V/m}}$. Con esto, el valor de la densidad superficial de carga que crea este campo es igual a ${\sigma=8.84\times 10^{-8} {\rm C/m^2}}$. La carga almacenada en la base de la nube, que es una superficie circular de radio R=5 km, es igual a

$$Q=\pi R^2\sigma=6.94 {\rm C} .$$ (3)

Puesto que el campo electrostático es constante (no depende de la altura entre la tierra y la nube), la diferencia de potencial entre la tierra y la base de la nube es igual a

$$V=Eh=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}h ,$$

y la capacidad del condensador formado por la tierra y la nube es

$$C=\frac QV=\varepsilon_0\frac{\pi R^2}{h} =4\pi\varepsilon_0\frac{R^2}{4h}=1.39\times10^{-6} {\rm F} =1.39 {\rm\mu F} .$$ (4)

Cuando se produce la descarga eléctrica, y suponiendo que la tierra y la nube se vacían completamente de carga eléctrica, toda la energía electrostática almacenada en el condensador se disipa en forma de calor (rayo y trueno). Esta energía secalcula de la siguiente forma: consideremos el condensador tierra+nuba a medio cargar conteniendo una carga q: la diferencia de potencial entre sus placas es igual a

$$V=Eh=\left(\frac{\displaystyle \frac{q}{\pi R^2}}{\varepsilon_0}\right)h$$

y el trabajo para incrementar en dq la carga que contiene es igual a

$$dW=Vdq=\frac{h}{\pi R^2\varepsilon_0} qdq .$$

Por tanto, el trabajo que hace el campo electrostático en cargar el condensador desde una carga q=0 hasta una carga final q=Q es igual a

$$W=\int_0^Q\frac{h}{\pi R^2\varepsilon_0} qdq =\frac 12 \frac{h}{\pi R^2\varepsilon_0}Q^2=\frac{Q^2}{2C} .$$ (5)

Este trabajo se almacena dentro del condensador en forma de energía electrostática, que es la energía que se disipa al descargarse el condensador. En nuestro caso, esta energía es igual a ${W=1.7\times10^7 {\rm J}}$.