Problema 1

Llamemos L a la longitud del tablón (L=5 m). Para recoger el papiro del agua, Demetrio tiene que estar sobre la vertical del rollo de papiro.

La mayor masa posible de Demetrio será aquella para la que, estando él sobre la vertical del papiro, sus pies rozan el agua: en esta condición límite, una longitud ${\displaystyle \sqrt{h^2+d^2}}$ del tablón está fuera del agua mientras que ${\displaystyle L-\sqrt{h^2+d^2}}$ del tablón está sumergido; para estas mismas condiciones, el seno del ángulo $\theta$ que forma el muelle del puerto con el tablón es igual a ${\displaystyle {\rm sen} \theta=\frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}}}$. Cuando Demetrio está quieto en esta condición límite, las únicas fuerzas que actuúan sobre el sistema tablón+Demetrio son (ver figura):

• El peso de Demetrio ${m_{\scriptscriptstyle \rm Demtrio}g}$, aplicado a una distancia d en perpendicular desde el muelle del puerto.
• El peso del tabón ${LS\rho_m g}$ (donde S=8 cm x 65 cm es la sección del tablón) aplicado a una distancia ${\displaystyle \frac L2\frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}}}$ en perpendicular desde el muelle.
• El empuje hacia arriba de la parte del tablón sumergida ${\displaystyle \left(L-\sqrt{h^2+d^2}\right)S\rho_0 g}$, que está aplicado en el centro de la parte sumergida, parte que está localizada a una distancia en perpendicular desde el muelle igual a ${\displaystyle \frac{L+\sqrt{h^2+d^2}}{2}\frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}}}$.
• La normal hacia arriba aplicada en el punto O que equilibra junto con el empuje los pesos del tablón y de Demetrio.

En la condición de equilibrio no sólo se debe cumplir que la suma de fuerzas sea cero, sino que la suma de momentos con respecto a cualquier punto sea cero. La suma de los anteriores momentos medidos desde el punto O e igualada a cero da la siguiente ecuación para la condición límite:

$$\begin{array}{lcl} {\displaystyle dm_{\scriptscriptstyle \rm... ...ight)S\rho_0 g} &\hspace{-2mm}=\hspace{-2mm}& 0 , \end{array}$$ (1)

en donde todo es conocido salvo la masa de Demetrio. Substituyendo los datos del problema,

$$\frac L2\frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}}L=5\sqrt{5} {\rm m^2} ,\qu... ...^2+d^2}} \left(L-\sqrt{h^2+d^2}\right)=4\sqrt{5} {\rm m^2} ,$$

se obtiene que la masa máxima de Demetrio es:

$$m_{\scriptscriptstyle \rm Demetrio}=\frac{0.052 {\rm m^2}}{2... ...rho_0-5\sqrt{5} {\rm m^2}\cdot\rho_m\right) =55.2 {\rm kg} .$$ (2)

En el punto en el que Demetrio se queda quieto, para tener el sistema Demetrio+tablón en equilibrio sólo es necesaria la normal hacia arriba que hace el muelle del puerto; por tanto en ese momento no es necesario sujetar el tablón. Sin embargo, cuando Demetrio se mueve sobre el tablón, la fuerza que impulsa a Demetrio es la fuerza de rozamiento entre el tablón y Demetrio: esta fuerza tiene el sentido del movimiento de Demetrio. La misma fuerza pero en sentido contrario actúa sobre el tablón, y aunque su componente vertical sea equilibrada por la normal, su componente horizontal debe ser equilibrada por Arquímedes sujetando el tablón: tirando hacia sí cuando Demetrio suba o empujando hacia el mar cuando Demetrio baje.