Problemas de reflexión y refracción de luz: 1-15

P.1 La ley de la reflexión nos dice que si $\alpha$ es el ángulo que forma el rayo incidente con la normal (=perpendicular) al espejo, entonces el rayo reflejado forma también un ángulo $\alpha$ con la normal. Por tanto, el ángulo que forma el rayo reflejado con el incidente es de $2\alpha$.

Si ahora, sin mover el rayo el incidente, giramos el espejo un ángulo $\theta$ (y por tanto, normal al espejo también gira el mismo ángulo), entonces el ángulo de incidencia será de $\alpha+\theta$, y el ángulo de reflexión también será $\alpha+\theta$. El rayo reflejado con respecto al incidente forma un ángulo de $2\alpha+2\theta$, o lo que es lo mismo, ha aumentado en $2\theta$ con respecto al primer caso.

P.2 Es un resultado teórico que para incidencia normal (=en perpendicular) sobre una superficie que separa un medio 1 de un medio 2, la intensidad del rayo reflejado está relacionada con la intensidad del rayo incidente a través de

$$I_{\scriptscriptstyle \rm reflejada}=\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2 I_{\scriptscriptstyle \rm incidente} ,$$ (1)

(ver por ejemplo, el libro Física, 3. edición, de P. A. Tipler en la página 982), siendo respectivamente $n_1$ y $n_2$ el índice de refracción del medio 1 y del medio 2. Como recordatorio, el índice de refracción de un medio es igual a la velocidad de la luz en el vacío dividida por la velocidad de la luz en el medio.

Para nuestro caso, la fracción de energía (=de intensidad) viene dada por

$$\frac{I_{\scriptscriptstyle \rm reflejada}}{I_{\scriptscript... ...rm agua}}{1+n_{\scriptscriptstyle \rm agua}}\right)^2=0.02 ,$$ (2)

con $n_1=n_{\scriptscriptstyle \rm aire}\approx 1$ y $n_2=n_{\scriptscriptstyle \rm agua}=1.33$. Por tanto, sólo se refleja un 2 por ciento de la intensidad incidente.

P.3 Del resultado teórico (1), la intensidad reflejada y la intensidad transmitida (=refractada) en un cambio de medio con incidencia normal vienen dadas, respectivamente, por el producto de la intensidad incidente $I_0$ por el factor R de reflexión o por el factor T de transmisión

$$\left\{\hspace{-1mm}\begin{array}{lcl} R=\mbox{factor de ref... ...style 1-R=\frac{4n_1 n_2}{(n_1+n_2)^2}} . \end{array}\right.$$ (3)

Notar que estos dos factores no cambian si intercambiamos $n_1\leftrightarrow n_2$, es decir, no depende de si primero está en el medio 1 y luego pasa al 2 o viceversa.

Para calcular la intensidad transmitida por una placa de vidrio, hay que considerar todas las reflexiones, y sus correspondientes factores de reflexión, que se van a producir en el interior del vidrio. En la figura se han representado las primeras de estas reflexiones; los colores y el que los rayos no sean completamente perpendiculares a las superficies del vidrio son sólo para facilitar la comprensión de la figura.

Hay que notar que si además la luz tiene la suficientemente coherencia, la interferencia entre los rayos transmitidos dentro del vidrio y los rayos reflejados dentro de este medio también influye en la intensidad de la luz que sale al aire. Aproximadamente entonces, la intensidad transmitida al aire es

$$I_{\scriptscriptstyle \rm trans}\approx T^2 I_0+R^2 T^2 I_0= I_0 T^2\left(1+R^2\right) ,$$ (4)

donde sólo se han considerado los dos rayos transmitidos de la figura. Esto es así ya que ${\displaystyle R=\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2}}$ (n es el índice de refracción del vidrio) es normalmente bastante pequeño: por ejemplo para n=1.5 es igual a R=0.11.

Del resultado (4) se ve que el factor de transmisión de la lámina de vidrio es aproximadamente $T^2(1+R^2)$, o si despreciamos la pequeña correción $R^2$, igual a $T^2$ con ${\displaystyle T=\frac{4n}{(1+n)^2}}$.

P.4 Por la definición de índice de refracción de un medio

$$n=\frac{\mbox{velocidad de la luz en el vac\'\i o}}{\mbox{ve... ...z en el medio}}=\frac{c}{v_{\scriptscriptstyle \rm medio}} ,$$ (5)

obtenemos que la velocidad de la luz en el agua es $v_{\scriptscriptstyle \rm agua}=2.26\times 10^8 {\rm m/s}$, y en el vidrio $v_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}=2\times 10^8 {\rm m/s}$.

P.5 La frecuencia de una onda de luz monocromática no varía al cambiar de medio: es la frecuencia con la que oscila el campo electromagnético que es la luz y es la misma frecuencia con la que la luz hace oscilar las partículas cargadas del medio que atraviesa y es también la misma frecuencia con la que estas partículas excitadas radian ondas electromagnéticas. Puesto que la longitud de onda y la frecuencia están relacionadas con la velocidad de la luz a través de

$$v_{\scriptscriptstyle \rm luz en un medio}=\lambda f ,$$ (6)

y la velocidad de la luz en un medio es igual a la velocidad de la luz en el vacío dividida por el índice de refracción (ver (5)), entonces tendremos que

$$\frac{v_{\scriptscriptstyle \rm luz, medio 1}}{v_{\scripts... ...lambda_{\scriptscriptstyle \rm medio 2}} =\frac{n_2}{n_1} .$$ (7)

En nuestro caso, la longirud de onda en el agua es de

$$\lambda_{\scriptscriptstyle \rm en agua}=\frac{n_{\scriptsc... ... \lambda_{\scriptscriptstyle \rm en aire}=526 {\rm nm} .$$

Los colores que vemos son producto de una reacción química en las células oculares llamadas conos: estas células reaccionan a la energía de los fotones de luz que les llegan. Puesto que la energía de un fotón de luz sólo depende de su frecuencia, y ya que la frecuencia no depende del medio por el que se propague la luz, entonces el buceador dentro del agua sigue viendo el mismo color rojo que si estuviera fuera del agua.

P.7 La ley de la refracción (Ley de Snell) establece que si:

• $\theta_1$ es el ángulo que forma un rayo incidente en el medio 1 con la normal a la línea que separa el medio 1 del medio 2
• y $\theta_2$ es el ángulo que forma el rayo refractado en el medio 2 con la normal

entonces se cumple que

$$n_1 {\rm sen} \theta_1=n_2 {\rm sen} \theta_2 ,$$ (8)

o lo que es lo mismo

$${\rm sen} \theta_2=\frac{n_1}{n_2} {\rm sen} \theta_1 .$$ (9)

Si el rayo está pasando de un medio 1 a otro medio 2 con índice de refracción menor (o lo que es lo mismo, en el medio 2 la luz se propaga más rápidamente), ${\displaystyle \frac{n_2}{n_1}<1}$, entonces puede ocurrir que para un ángulo de incidencia $\theta_1$ grande se cumpla

$$\frac{n_1}{n_2} {\rm sen} \theta_1 > 1 .$$ (10)

En este caso la ley de la refracción (9) no se cumple, ya que el seno de un ángulo nunca es mayor que uno, y la refracción no tiene lugar: toda la luz que está incidiendo sobre la superficie que separa los dos medios es completamente reflejada. El ángulo de incidencia $\theta_1$ para el que justo se cumple la condición límite de que el seno del ángulo refractado es lo más grande posible, ${\rm sen} \theta_2=1$, se denomina ángulo crítico (o límite) para la reflexión total

$${\rm sen} \theta_1\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscripts... ...nderbrace{\sin\theta_2}_{\displaystyle =1}=\frac{n_2}{n_1} .$$ (11)

Para el caso particular del porblema en el que $n_1=n_{\scriptscriptstyle \rm agua}=1.33$ y $n_2=n_{\scriptscriptstyle \rm aire}\approx 1<n_{\scriptscriptstyle \rm agua}$ obtenemos que el ángulo crítico es 48 grados y 45 minutos.

P.8 Muy similar al problema anterior pero ahora con $n_1=n_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}=1.5$ y $n_2=n_{\scriptscriptstyle \rm agua}=1.33<n_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}$: el ángulo crítico es entonces

$$\theta_1\rule[-3mm]{0.2mm}{5mm}_{\scriptscriptstyle \rm crit}= {\rm arcsen}\left( \frac{n_2}{n_1}\right)= 62^\circ 27' .$$ (12)

P.9 Sea h=5m la profundidad a la que está el foco luminoso y sea r la distancia sobre la superficie del agua medida desde la vertical que pasa por el foco luminoso: el seno del ángulo de incidencia de un rayo que saliendo de ese foco llega a un punto de la circunferencia de radio r es ${\displaystyle \frac{r}{\sqrt{h^2+r^2}}}$, como se puede demostrar con un dibujo simple. Si este seno es menor que ${\displaystyle \frac{n_2}{n_1}=\frac{n_{\scriptscriptstyle \rm aire}}{n_{\scriptscriptstyle \rm agua}} =\frac 1n}$ entonces todavía se produce refracción y por tanto saldrá luz al aire proveniente del foco submergido. El radio R para el que justo se cumple la condición límite marca es

$$\frac{R}{\sqrt{h^2+R^2}} = {\rm sen} \theta_1\rule[-3mm]{0... ...it} =\frac 1n\quad \Rightarrow\quad R^2=\frac{h^2}{n^2-1} .$$ (13)

Y el área correspondiente es $\pi R^2$.

P.10 Muy similar al problema anterior: la trayectoria que siguen los rayos luminosos que llegan desde el exterior hasta el nadador submergido es la misma que la de los rayos que salieran del nadador para llegar fuera del agua. Luego el resultado es (13), con h=3m y n=1.33.

P.11 Por la figura está claro que el ángulo que forma el rayo incidente con el lado inclinado del prisma es 45 grados y por tanto, el ángulo que forma con la normal (ángulo de incidencia) es también 45 grados. De acuerdo con el resultado (10), reflexión total se producirá si

$${\rm sen} \theta_{\scriptscriptstyle \rm incidencia}\geq\... ...scriptstyle \rm fuera}}{n_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}} ,$$ (14)

y puesto que ${\rm sen} \theta_{\scriptscriptstyle \rm incidencia}= {\rm sen} 45^\circ=1/\sqrt{2}$ entonces el índice de refracción del prisma tiene que cumplir

$$n_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}\geq\sqrt{2} n_{\scriptscriptstyle \rm fuera} .$$ (15)

Puesto que el índice de refracción fuera es prácticamente 1, entonces $n_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}\geq \sqrt{2}$ y el valor mínimo del índice es $\sqrt{2}$. Para la segunda pregunta obtendremos

$$\sqrt{2}\cdot 1.15\leq n_{\scriptscriptstyle \rm vidrio}< \sqrt{2}\cdot 1.33 .$$ (16)

P.12 Sea h=3cm es espesor de la placa de vidrio de índice de refracción n=1.5 y $\theta_1$=40 grados el ángulo de incidencia. De la figura siguiente obtenemos que para la refracción en el paso del aire al vidrio se cumple que

$${\rm sen} \theta_1=n {\rm sen} \theta_2 ,$$

y además por trigonometría sencilla, la tangente del ángulo de refracción es ${\displaystyle \tan\theta_2=\frac{s/2}{h}}$. Por lo tanto combinando estos dos resultados

$$\frac{s/2}{h}=\tan\theta_2=\frac{ {\rm sen} \theta_2}{\sqr... ... {\rm sen} \theta_1}{\sqrt{n^2- {\rm sen} ^2\theta_1}} ,$$ (17)

y de aquí

$$d=s\cos\theta_1=\frac{2h {\rm sen} \theta_1\cos\theta_1}{\sqrt{n^2- {\rm sen} ^2\theta_1}} .$$ (18)

P.13 De la figura se ve que la distancia d que se pide es igual a

$$d=\frac{h}{\cos\theta_2} {\rm sen} (\theta_1-\theta_2) ,$$

donde los dos ángulos están relacionados a través de la ley de la refracción: $1\cdot {\rm sen} \theta_1=n\cdot {\rm sen} \theta_2$. Operando un poco y teniendo en cuenta que ${\rm sen} (\theta_1-\theta_2)= {\rm sen} \theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1 {\rm sen} \theta_2$ obtenemos

$$d=h {\rm sen} \theta_1-h\underbrace{ {\rm sen} \theta_2}... ...} \theta_2}{=} \frac 1n \sqrt{n^2- {\rm sen} ^2\theta_1}}}=$$

$$=h {\rm sen} \theta_1\left(1-\frac{\cos\theta_1}{\sqrt{n^2- {\rm sen} ^2\theta_1}} \right) .$$ (19)

P.14 Puesto que el índice de refracción del aire (=vacío) es igual a uno para todas las longitudes de onda, tenemos

$$\left\{\begin{array}{llcl} \mbox{violeta}: & 1\cdot {\rm s... ...tscriptstyle \rm\lambda=700 {\rm nm}}} , \end{array}\right.$$ (20)

o bien, $\theta_{2, {\scriptscriptstyle \rm\lambda=400 {\rm nm}}}=25^\circ 12'$ y $\theta_{2, {\scriptscriptstyle \rm\lambda=700 {\rm nm}}}=26^\circ 3'$.

P.15 De la figura, y debido a la simetría del problema, el ángulo de desviación entre el rayo incidente y el rayo refractado, $\theta_1-\theta_2$, es igual a la mitad de la desviación total que se pide en el problema: $\delta/2=\theta_1-\theta_2$.

Por otra parte, resolviendo el triángulo superior (en rojo), vemos que el ángulo de refracción $\theta_2$, formado con la perpendicular al lado del prisma, es precisamente $\alpha/2$, por lo que aplicando la ley de la refracción, podemos obtener el correspondiente ángulo de incidencia

$${\rm sen} \hspace{-3mm}\underbrace{\theta_1}_{\displaysty... ...ht) =n {\rm sen} \hspace{-1mm}\left(\frac\alpha 2\right) .$$ (21)

Para el caso particular que se pide, $\delta_{\scriptscriptstyle \rm rojo}=35^\circ 28'$ y $\delta_{\scriptscriptstyle \rm violeta}=38^\circ 56'$ luego

$$\Delta\delta=\delta_{\scriptscriptstyle \rm violeta} -\delta_{\scriptscriptstyle \rm rojo}=3^\circ 28' .$$ (22)