Problemas de aplicación de la Ley de Faraday (II): 48, 51

Ampliación. Sea la ecuación diferencial

$$\frac{dy}{dt}+C y=D ,$$ (17)

donde C y D son constantes. La manera de obtener la función y(t) que sea solución de tal ecuación es la siguiente: primero se hace un cambio de variable ${\displaystyle z=y-\frac DC}$, y puesto que D/C es contante, entonces se cumple que ${\displaystyle \frac{dz}{dt}=\frac{dy}{dt}}$. Con este cambio de variable, la ecuación diferencial queda

$$\frac{dz}{dt}+C\left(z+\frac DC\right)=D\quad\Rightarrow\qua... ...rac{dz}{dt}=-C z\quad \Rightarrow\quad\frac{dz}{z}=-C dt ,$$

o lo que es lo mismo

$$\ln\hspace{-1mm}\left(\frac{z}{z_0}\right)\hspace{-1mm}= \in... ...t_{t=0}^t C dt'=-C t\quad\Rightarrow\quad z=z_0 e^{-Ct} ,$$

con $z_0$ una constante a determinar a partir de las condiciones iniciales del problema. La solución y(t) que estamos buscando es por tanto

$$y(t)=\frac DC+z_0 e^{-Ct} .$$ (18)

Para los problemas en los que vamos a encontrar esta ecuación diferencial, y(t) va a ser la velocidad y por tanto la ecuación diferencial (17) tiene el siguiente sentido físico: la derivada ${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ es la aceleración (igual a la fuerza total dividida por la masa), que de acuerdo con la ecuación diferencial, es igual a una constante menos un término proporcional a la velocidad. O sea, la fuerza total que está actuando sobre el cuerpo cuyo movimiento describe (17) es igual a un término constante (por ejemplo el peso) más otra fuerza que es proporcional a menos la velocidad, fuerza ésta que suele describir un rozamiento o amortiguamiento. De acuerdo con (18), la velocidad inicial del cuerpo es ${\displaystyle \frac DC+z_0}$ mientras que la velocidad límite que alcanzará para $t\to\infty$ es igual a D/C. Esta velocidad límite se obtiene de manera más directa a partir de la ecuación diferencial inicial: una vez el cuerpo alcance la condición límite, ${\displaystyle y(t)=y_{\scriptscriptstyle \rm lim}}$, su velocidad es constante y no varía, por lo que la derivada ${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$ es cero y a partir de (17) se obtiene

$$0+C y_{\scriptscriptstyle \rm lim}=D\quad\Rightarrow\quad y_{\scriptscriptstyle \rm lim}=\frac DC .$$

Puesto que en la mayor parte de los casos la velocidad inicial es cero, y(t=0)=0, la solución general de la ecuación diferencial que estamos estudiando es

$$y(t=0)=0=\frac DC +z_0\quad\Rightarrow\quad z_0=-\frac DC ,$$

$$y(t)=\frac DC\left(1-e^{-Ct}\right) .$$ (19)

Un caso en donde ya te habrás encontrado con esta ecuación diferencial, y con el caso de una velocidad límite, es en la práctica de la gota de Millikan.

P.48 Inicialmente por la espira cerrada que queda a la derecha circula una corriente ${\displaystyle i_0=\frac{\cal E}{R_{\scriptscriptstyle \rm total}}=\frac{\cal E}{R}}$ donde R es la resistencia de la barra vertical (los dos conductores horizontales paralelos no tienen prácticamente resistencia), siendo la dirección de esta corriente hacia abajo en la barra vertical. Al moverse esta barra vertical, el flujo que atraviesa la espira varía con el tiempo y por tanto, a parte de la intensidad inicial, se inducirá otra intensidad más debida a la Ley de Faraday. En un intervalo infinitesimal de tiempo dt el área atravesada por el campo magnético disminuye en vdtL: por tanto lo que varía el flujo magnético que atraviesa la espira es ${\displaystyle d\phi_m=-\left(\raisebox{4mm}{}-vdt L\right)B}$, donde el primer signo menos en $d\phi_m$ viene de que el vector de superficie de la espira va hacia fuera de la hoja (aplicando la regla de la mano derecha cuando se recorre la espira en la dirección en la que circula inicialmente la corriente) mientras que el vector campo mágnetico va hacia dentro. Por lo tanto, la corriente total que circula por la espira es igual a la suma de la corriente inicial más la corriente inducida

$$R i_{\scriptscriptstyle \rm ind}={\cal E}_{\scriptscriptstyle \rm ind}=-\frac{d\phi_m}{dt}=-vLB ,$$

$$i_{\scriptscriptstyle \rm total}=i_0+i_{\scriptscriptstyle \rm ind} =\frac{\cal E}{R}-\frac{vLB}{R} .$$ (20)

que es la corriente que también circula hacia abajo por la barra vertical. De esta forma, las cargas móviles de la barra llevan: una velocidad v hacia la derecha que provoca una fuerza de Lorentz paralela a la barra vertical; y otra velocidad hacia abajo por la corriente $i_{\scriptscriptstyle \rm total}$ que origina una fuerza de Lorentz $d\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B}$

$$F_{\scriptscriptstyle \rm Lorentz, horizontal}=i_{\scriptscriptstyle \rm total}LB ,$$ (21)

hacia la derecha. La primera fuerza de Lorentz, paralela a la barra vertical, va llevando cargas a los extremos de la barra (ver problema 46) hasta que estas cargas desplazadas crean un campo eléctrico que compensa la fuerza de Lorentz que las estaba desplazando: por ello, al cabo de un pequeño intervalo de tiempo, la única fuerza de Lorentz que queda es la ecuación (21) (debida al movimiento de las cargas a la largo de la barra vertical) que será igual a la masa por la aceleración de la barra

$$\sum F=\hspace{-3mm}\underbrace{i_{\scriptscriptstyle \rm to... ...l E}LB}{R} -\frac{vL^2B^2}{R}}\hspace{-3mm}=m\frac{dv}{dt} ,$$

o bien

$$\frac{dv}{dt}+\frac{L^2B^2}{mR} v=\frac{{\cal E}LB}{mR} .$$ (22)

La solución de esta ecuación diferencial ya ha sido discutida en la ampliación, con las sustituciones ${\displaystyle \left\{\hspace{-1mm}\begin{array}{lcl} C &\hspace{-1mm}\to\hspac... ...1mm}\to\hspace{-1mm}& {\displaystyle \frac{{\cal E}LB}{mR}} \end{array}\right.}$. Puesto que la velocidad inicial de la barra es cero, la velocidad en cualquier instante de tiempo viene dada por la solución (19)

$$v(t)=\frac{\cal E}{LB}\left(1-e^{-\frac{L^2B^2}{mR} t}\right) .$$ (23)

Y la velocidad límite, es decir, cuando la velocidad ya no varía más y permanece constante, se puede deducir inmediatamente de (22)

$$0+\frac{L^2B^2}{mR} v_{\scriptscriptstyle \rm lim}=\frac{{\... ...rrow\quad v_{\scriptscriptstyle \rm lim}=\frac{\cal E}{LB} ,$$ (24)

que es el límite $t\to\infty$ del resultado (23). Para tal velocidad límite la intensidad total (20) que circula por la espira cerrada que forma la barra con los dos concutores horizontales es

$$i_{\scriptscriptstyle \rm total}=\frac{\cal E}{R}-\frac{\cal E}{LB}\frac{LB}{R}=0 ,$$ (25)

lo que es lógico, ya que de haber todavía corriente, habría todavía una fuerza de Lorentz hacia la derecha que modificaría la velocidad en este sentido de la barra.

P.51 Como en el problema anterior, al moverse hacia abajo la barra conductora sobre los raíles (raíles que se suponen están conectados entre sí en la parte de abajo), disminuye el número de líneas del campo magnético que atraviesa la superficie de la espira formada por la barra móvil y los raíles según

$$d\phi_m=-vdt LB \cos\theta ,$$

donde el coseno aparece ya que ahora la espira no es atravesada perpendicularmente por el campo magnético; v es la velocidad con la que se mueve hacia abajo la barra móvil sobre los raíles. La variación del flujo magnético en la espira que estamos considerando induce una corriente en la barra móvil igual a

$$i_{\scriptscriptstyle \rm ind}=-\frac 1R \frac{d\phi_m}{dt}=vLB\cos\theta ,$$

que circula en sentido antihorario (viendo la barra móvil y los raíles desde arraiba). Esto a su vez origina una fuerza de Lorentz en dirección horizontal hacia atrás igual a

$$F_{\scriptscriptstyle \rm Lorentz, horizontal}=i_{\scriptscriptstyle \rm ind}LB =v\frac{L^2B^2\cos\theta}{R} .$$ (26)

Viendo los raíles paralelos de perfil (que forman un ángulo $\theta$ con la horizontal), tenemos que sobre la sección de la barra conductora móvil actúan las siguientes fuerzas:

• Su peso mg en vertical hacia abajo, con una componente $mg\cos\theta$ en perpendicular a los raíles y hacia abajo, y otra componente $mg {\rm sen} \theta$ a lo largo de los raíles hacia adelante.
• La normal que hacen los raíles, que como su nombre indica es perpendicular a los raíles y está dirigida hacia arriba.
• La fuerza de Lorentz (26) en dirección horizontal, con una componente $F_{\scriptscriptstyle \rm Lor., hor.} {\rm sen} \theta$ en perpendicular a los raíles y dirigida hacia abajo, y otra componente
  

  $$F_\parallel= F_{\scriptscriptstyle \rm Lorentz, horizontal}\cos\theta=v\frac{L^2B^2\cos^2\theta}{R} ,$$ (27)

  
  
  que es paralela a los raíles y apunta hacia atrás. Nota que otra vez nos aparece una fuerza proporcional a la velocidad.

El movimiento a lo largo de los raíles viene descrito por la siguiente ecuación

$$mg {\rm sen} \theta-F_\parallel=m\frac{dv}{dt} ,$$

$$\frac{dv}{dt}+\frac{L^2B^2\cos^2\theta}{mR} v=g {\rm sen} \theta .$$ (28)

La velocidad límite se calcula como en la ecuación (24): cuando se alcanza esta velocidad límite, la velocidad ya no varía por lo que

$$0+\frac{L^2B^2\cos^2\theta}{mR} v_{\scriptscriptstyle \rm l... ...rm lim} =\frac{Rmg {\rm sen} \theta}{L^2B^2\cos^2\theta} .$$ (29)

Puesto que la barra móvil parte del reposo, su velocidad en cualquier instante de tiempo t viene dada por la solución (19) con las sustituciones ${\displaystyle \left\{\hspace{-1mm}\begin{array}{lcl} C &\hspace{-1mm}\to\hspac... ...}}\\ D &\hspace{-1mm}\to\hspace{-1mm}& g {\rm sen} \theta\end{array}\right.}$

$$v(t)=\frac{Rmg {\rm sen} \theta}{L^2B^2\cos^2\theta} \left(1-e^{-\frac{L^2B^2\cos^2\theta}{mR} t}\right) .$$