Libro de teoría de números

El libro se titula Recorridos por la Teoría de Números, tiene 714 páginas y ha sido publicado en 2014 en la colección Textos Universitarios que coeditan Electolibris y la Real Sociedad Matemática Española.

Segunda edición: Publicada en 2019, 720 páginas.

Puedes leer una reseña publicada en La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.

El libro está disponible en varios formatos

• Versión papel (con tapa blanda).
• Versión pdf adaptada a ordenador o a la pantalla de un iPad u otras tabletas.

En ambos casos, el libro se puede adquirir en la tienda de Electolibris o en Amazon (si estás interesado en tener el libro y los enlaces anteriores no funcionan, escríbeme si quieres).

Novedades sobre la distribución del libro (abril de 2022)

El libro en papel está agotado y la editorial Electolibris ha cerrado de menera definitiva, así que no hay manera de adquirirlo.

En esas circunstancias, he decidido hacerlo disponible en pdf, completamente gratis, a quien desee tenerlo: versión para ordenador, versión para iPad, versión para otro tipo de tabletas. Las tres versiones tienen el mismo contenido y paginación, sólo difieren en los márgenes.

      

Si lo deseas, puedes remitir tus comentarios, o las posibles erratas que descubras, a jvarona@unirioja.es.

Nota para los alumnos de la asignatura «Teoría de números y criptografía» del Grado de Matemáticas de la Universidad de La Rioja: En el curso 2014–15 (y siguientes) se seguirán los seis primeros temas de este libro (algunos, muy por encima). Los alumnos matriculados recibirán en papel el texto correspondiente a esos temas.

• Prefacio
• 1. Aritmética básica
• 1.1. Divisibilidad
• 1.1.1. La identidad de Bézout
• 1.2. Números primos
• 1.2.1. Factorización de un entero en producto de primos
• 1.2.2. Primeras consecuencias de la descomposición en factores primos
• 1.3. El sistema de numeración posicional. Bases
• 1.3.1. Criterios de divisibilidad
• 1.4. Combinatoria
• 1.4.1. Variaciones
• 1.4.2. Permutaciones
• 1.4.3. Combinaciones
• 1.5. Coeficientes binomiales y binomio de Newton
• 1.5.1. El triángulo de Pascal
• 1.6. Algunas ecuaciones diofánticas
• 1.6.1. Ecuaciones diofánticas lineales
• 1.6.2. Ternas pitagóricas
• 1.6.3. Una pequeña miscelánea de ecuaciones diofánticas
• Ejercicios del tema 1
• 2. Congruencias
• 2.1. Definiciones y primeras propiedades
• 2.2. La ecuación con congruencias lineal
• 2.2.1. ¿Es muy costoso este algoritmo?
• 2.3. La indicatriz de Euler y el teorema de Euler-Fermat
• 2.3.1. Una expresión de la solución de una ecuación con congruencias lineal
• 2.3.2. Una fórmula explícita para evaluar la indicatriz de Euler
• 2.3.3. Primos de Wieferich
• 2.4. Números pseudoaleatorios
• 2.5. Primos en progresiones aritméticas
• 2.5.1. Progresiones aritméticas de primos
• 2.6. Sistemas lineales de congruencias: El teorema chino del resto
• 2.6.1. Módulos no primos entre sí
• 2.7. Teorema de Wilson
• 2.7.1. Primos de Wilson
• 2.8. Números pseudoprimos
• 2.8.1. Números de Carmichael
• 2.8.2. Test de Miller-Rabin
• 2.9. Criptografía
• 2.9.1. Un criptosistema de clave privada basado en la exponenciación discreta
• 2.9.2. Avances hacia la criptografía de clave pública
• 2.9.3. El criptosistema RSA
• 2.9.4. Ataques al criptosistema RSA
• 2.9.5. Firma digital
• 2.10. Teoría de códigos
• 2.10.1. Códigos detectores de errores
• 2.10.2. Funciones hash
• 2.10.3. La información es digital: códigos binarios
• 2.10.4. Códigos correctores
• Ejercicios del tema 2
• 3. Congruencias no lineales
• 3.1. Congruencias polinómicas
• 3.1.1. Congruencias polinómicas con un módulo compuesto
• 3.2. Restos cuadráticos y ley de reciprocidad cuadrática
• 3.2.1. El símbolo de Legendre
• 3.2.2. La ley de reciprocidad cuadrática
• 3.2.3. El símbolo de Jacobi
• 3.2.4. Cálculo rápido del símbolo de Jacobi
• 3.2.5. Leyes de reciprocidad para potencias mayores de dos
• 3.3. Pseudoprimos de Euler
• 3.4. Tests de primalidad para números de formas especiales
• 3.4.1. Test de Pépin
• 3.4.2. Test de Proth
• 3.4.3. Test de Lucas-Lehmer
• 3.5. Raíces primitivas
• 3.5.1. Índices modulares (logaritmos discretos)
• 3.5.2. Aplicación a la resolución de ecuaciones
• 3.6. Criptosistema Elgamal
• 3.6.1. Firma digital con Elgamal
• Ejercicios del tema 3
• 4. Aproximación de un número real por racionales
• 4.1. Teorema de Dirichlet y consecuencias
• 4.1.1. Un criterio de irracionalidad
• 4.2. Orden de aproximación. Teorema de Liouville y consecuencias
• 4.2.1. El teorema y sus consecuencias
• 4.2.2. Un criterio de trascendencia
• 4.3. Refinamientos del teorema de Liouville
• 4.3.1. El correspondiente criterio de trascendencia
• 4.3.2. Reinterpretación en términos de la derivabilidad una función patológica
• 4.3.3. Soluciones de ecuaciones diofánticas
• 4.4. Fracciones de Brocot
• 4.4.1. Aproximaciones óptimas
• 4.5. Teorema de Hurwitz
• 4.5.1. La mejor constante
• 4.6. La constante de Lagrange de un irracional
• 4.7. Cubrimientos de la recta real
• Ejercicios del tema 4
• 5. Fracciones continuas
• 5.1. La sucesión de Fibonacci
• 5.2. Pares de sucesiones recurrentes
• 5.3. Fracciones continuas simples
• 5.4. Fracciones continuas simples finitas
• 5.4.1. Unicidad del desarrollo en fracción continua finita
• 5.5. Convergencia de fracciones continuas simples
• 5.5.1. Unicidad del desarrollo en fracción continua infinita
• 5.5.2. Un ejemplo numérico concreto
• 5.5.3. ¿Las fracciones continuas proporcionan buenas aproximaciones?
• 5.6. Aproximación por racionales mediante desarrollos en fracción continua
• 5.6.1. La constante de Lagrange de un irracional
• 5.7. Fracciones continuas simples periódicas: irracionales cuadráticos
• 5.7.1. La estructura del periodo
• 5.8. El desarrollo de $e$ en fracción continua simple
• Ejercicios del tema 5
• 6. Irracionalidad y trascendencia
• 6.1. Algunos resultados sobre irracionalidad
• 6.1.1. Expresiones trigonométricas
• 6.1.2. Logaritmos
• 6.2. Irracionalidad de $e$
• 6.2.1. Introducción histórica
• 6.2.2. Una demostración elemental
• 6.3. Irracionalidad de $\pi$
• 6.3.1. Algunas adaptaciones y generalizaciones
• 6.4. Los números trascendentes existen
• 6.4.1. No sólo existen, sino que hay muchísimos
• 6.4.2. Pero son difíciles de encontrar
• 6.5. Trascendencia de $e$
• 6.6. Polinomios simétricos
• 6.6.1. El teorema fundamental de los polinomios simétricos
• 6.6.2. Algunas consecuencias sencillas, pero importantes
• 6.7. Trascendencia de $\pi$
• 6.7.1. Esquema de la demostración
• 6.7.2. La demostración
• 6.8. Extensiones y problemas abiertos
• 6.8.1. El séptimo problema de Hilbert
• 6.8.2. Otros resultados sobre trascendencia
• 6.8.3. Tampoco es fácil probar la irracionalidad
• 6.8.4. Problemas abiertos
• 6.9. Polinomios de Bernoulli y $\zeta(2k)$
• Ejercicios del tema 6
• 7. Funciones aritméticas
• 7.1. Funciones aritméticas notables
• 7.2. Números perfectos y amigos. Sucesiones alicuatorias
• 7.3. Producto de Dirichlet y transformada de Möbius
• 7.3.1. La fórmula de inversión de Möbius
• 7.3.2. Algunas relaciones entre funciones aritméticas
• 7.4. Funciones multiplicativas
• 7.4.1. Inversas de funciones completamente multiplicativas
• 7.4.2. Fórmula del producto para funciones multiplicativas
• 7.5. Derivadas de funciones aritméticas
• 7.6. Generalización del producto de Dirichlet
• 7.7. Más tipos de convoluciones y sus inversiones de Möbius
• 7.7.1. Fórmulas de inversión de Möbius con flujos
• Ejercicios del tema 7
• 8. Medias de funciones aritméticas
• 8.1. El orden de magnitud de algunas funciones aritméticas
• 8.1.1. El orden de la función $\tau(n)$
• 8.1.2. La funciones $\sigma(n)$ y $\varphi(n)$
• 8.2. Fórmulas de sumación
• 8.3. Estimaciones asintóticas de funciones
• 8.3.1. Algunas fórmulas elementales
• 8.4. Orden medio de las funciones divisor
• 8.4.1. Parámetro nulo (número de divisores)
• 8.4.2. Parámetro positivo
• 8.4.3. Parámetro negativo
• 8.5. Orden medio de la indicatriz de Euler
• 8.5.1. ¿Cuál es la probabilidad de que dos números tomados al azar sean primos entre sí?
• 8.5.2. Series de Dirichlet
• 8.6. Estimaciones elementales relacionadas con la función de Möbius
• 8.6.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un número tomado al azar sea libre de cuadrados?
• 8.6.2. Una cota no muy fina
• 8.7. Resultados equivalentes al teorema del número primo
• 8.7.1. Las funciones de Chebyshev
• 8.7.2. Equivalencia con las medias de la función de Mangoldt
• 8.8. Equivalencia con las medias de la función de Möbius
• Ejercicios del tema 8
• 9. Distribución de los números primos: resultados elementales
• 9.1. Productos de Euler
• 9.1.1. La serie de los inversos de los números primos
• 9.1.2. La identidad de Euler aplicada a las series de Dirichlet
• 9.2. Teorema de Chebyshev
• 9.2.1. Cinco lemas y el teorema
• 9.2.2. Cotas para el tamaño del $k$-ésimo primo
• 9.3. Postulado de Bertrand
• 9.3.1. Distancias entre primos
• 9.3.2. Funciones generadoras de primos
• 9.4. Fórmulas de Mertens
• 9.5. El número de divisores primos de un entero
• 9.5.1. ¿Cuántos divisores primos tiene un entero típico?
• 9.5.2. ¿Cuántos divisores tiene un entero típico?
• 9.5.3. Propiedades estadísticas
• Ejercicios del tema 9
• 10. El teorema del número primo
• 10.1. Recordatorio de análisis complejo
• 10.2. Definición de la zeta de Riemann y resultados preparatorios
• 10.2.1. Extensión de la zeta de Riemann a la banda crítica
• 10.2.2. Extensión de algunas propiedades a la frontera derecha de la banda crítica
• 10.2.3. Sumas de logaritmos de primos
• 10.3. Un teorema tauberiano
• 10.4. El final de la demostración del teorema del número primo
• 10.5. Algunas consecuencias del teorema del número primo
• 10.5.1. ¿Cuál es la probabilidad de que un número tomado al azar sea primo?
• 10.5.2. Fórmula asintótica para el $n$-ésimo primo
• 10.5.3. El tamaño asintótico de la función $\tau(n)$
• 10.5.4. El tamaño asintótico de la función $\varphi(n)$
• 10.6. El tamaño del error al aproximar $\pi(x)$
• 10.6.1. Qué se sabe
• 10.6.2. Qué se sabría si la hipótesis de Riemann estuviera probada
• 10.7. Las aproximaciones que propuso Riemann
• 10.7.1. Trabajo preparatorio
• 10.7.2. Aparecen los ceros de la función zeta
• 10.7.3. Aproximación numérica y gráfica incorporando sucesivos ceros
• Ejercicios del tema 10
• Apéndice: La construcción de los números
• A.1. Conceptos básicos de teoría de conjuntos
• A.1.1. Relaciones
• A.1.2. Aplicaciones entre conjuntos
• A.2. Definición de cuerpo
• A.3. Los números naturales
• A.3.1. Los axiomas de Peano
• A.3.2. Un modelo de los números naturales
• A.4. Los números enteros
• A.5. Los números racionales
• A.6. Los números reales
• A.6.1. Cortaduras de Dedekind
• A.6.2. Unicidad de los números reales
• A.6.3. Otras construcciones de los números reales
• A.7. Los números complejos
• A.8. Cuaterniones y octoniones
• A.9. Y aún hay más
• Soluciones
• Soluciones a los ejercicios del tema 1
• Soluciones a los ejercicios del tema 2
• Soluciones a los ejercicios del tema 3
• Soluciones a los ejercicios del tema 4
• Soluciones a los ejercicios del tema 5
• Soluciones a los ejercicios del tema 6
• Soluciones a los ejercicios del tema 7
• Soluciones a los ejercicios del tema 8
• Soluciones a los ejercicios del tema 9
• Soluciones a los ejercicios del tema 10
• Bibliografía
• Índice alfabético

Para entrar en contacto (preferiblemente electrónico):

Juan Luis Varona
Dpto. de Matemáticas y Computación
Universidad de La Rioja
Complejo Científico-Tecnológico
Calle Madre de Dios 53
26006 Logroño

Teléfono: 34 - 941 299 451. Fax: 34 - 941 299 460

Fecha de última modificación de esta página: 6 de abril de 2022

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