MÉTODOS CLÁSICOS DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

• ECUACIONES EXPLÍCITAS DE PRIMER ORDEN. Es decir, de la forma

y′ = f(x, y).

1. Variables separadas.

Son de la forma

g(x) = h(y)y′.

Formalmente, se separa g(x) = h(y) \frac{dy}{dx} en g(x) dx = h(y) dy y se integra.

2. Ecuación de la forma y′ = f(ax + by).

El cambio de función y(x) por z(x) dado por z = ax + by la transforma en una de variables separadas.

3. Homogéneas.

Son de la forma

y′ = f (\frac{y}{x}) .

Se hace el cambio de función y(x) por u(x) mediante y = ux, transformándose así la E. D. en una de variables separadas.

3′. Reducibles a homogéneas.

Son de la forma

y′ = f (\frac{a_{1}x + b_{1}y + c_{1}}{ax + by + c} ) .

3′.1. Si las rectas ax + by + c = 0 y a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 se cortan en (x_{0}, y_{0}), se hace el cambio de variable y de función X = x − x_{0}, Y = y − y_{0}. La ecuación se reduce a una homogénea.

3′.2. Si ax + by + c = 0 y a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0 son rectas paralelas, se hace el cambio de función z = ax + by. La nueva ecuación que aparece es de variables separadas.

3′′. Homogéneas implícitas.

Son de la forma

F (\frac{y}{x}, y′) = 0.

Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representación paramétrica α = φ(t), β = ψ(t), F (φ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de función y por t mediante \frac{y}{x} = φ(t), y′ = ψ(t). Así, derivando y = xφ(t) respecto de x, aparece una ecuación en variables separadas.

3′′′. Si la ecuación y′ = f(x, y) es tal que, para algún α ≠ 0 fijo, f satisface

f(λx, λ^{α}y) = λ^{α−1}f(x, y),

entonces el cambio de función y = z^{α} transforma la ecuación en una homogénea. (Si α = 1, la E. D. ya es homogénea; y si f cumple la relación anterior con α = 0, la E. D. es de variables separadas.)

4. Ecuaciones exactas.

Son las de la forma

P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

es decir, y′ = \frac{dy}{dx} = −\frac{P (x,y)}{Q(x,y)}, que cumplen P_{y} = Q_{x}. Se busca una función F (x, y) tal que dF = ω = P dx + Q dy, y la solución de la E. D. es F (x, y) = C (siendo C constante).

4′. Reducibles a exactas: Factores integrantes.

Si P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es exacta, podemos intentar encontrar μ(x, y) tal que

μ(x, y)P (x, y) dx + μ(x, y)Q(x, y) dy = 0

sea exacta.

4′.1. Existencia de factor integrante de la forma μ(x). Ocurre cuando \frac{P_{y}−Q_{x}}{Q} = h(x), tomándose μ(x) = exp(∫ h(x) dx).

4′.2. Existencia de factor integrante de la forma μ(y). Ocurre cuando \frac{Q_{x}−P_{y}}{P} = h(y), tomándose μ(y) = exp(∫ h(y) dy).

4′.3. Otras expresiones restrictivas para μ(x, y).

5. Ecuaciones lineales de primer orden.

Son de la forma

y′ + a(x)y = b(x).

Hay tres métodos de resolución: (i) Encontrar un factor integrante de la forma μ(x). (ii) Resolver la ecuación lineal homogénea asociada y′ + a(x)y = 0 (que es de variables separadas), cuya solución es y = C exp(− ∫ a(x) dx), y usar el método de variación de las constantes (esto es, cambiar C por C(x) en la expresión anterior y sustituir en la ecuación lineal). (iii) Encontrar de alguna forma una solución particular y_{p}(x), con lo cual la solución general de la lineal es y_{p} más la solución general de la homogénea asociada. (iv) Descomponer y(x) = u(x)v(x), sustituir en la lineal, e igualar a 0 el coeficiente de u, resolviendo la ecuación que aparece (v′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas); tras esto, queda una ecuación en u(x) de variables separadas.

De cualquier modo se obtiene que la solución general de la E. D. lineal es

y = exp (− ∫ a(x) dx) [∫ b(x) exp (∫ a(x) dx) dx + C] .

5′. Ecuación de Bernoulli.

Es de la forma

y′ + a(x)y + b(x)y^{α} = 0.

Si α = 0 es lineal, y si α = 1, de variables separadas. En otro caso, se hace el cambio de función y^{1−α} = z, con lo que la E. D. de Bernoulli se transforma en una lineal. Un segundo método de resolución es el siguiente: se descompone y(x) = u(x)v(x) y se sustituye en la E. D., se iguala a 0 el coeficiente de u (queda v′ + a(x)v = 0, que es de variables separadas), lo que nos lleva a determinar v, apareciendo ahora una ecuación en u(x) de variables separadas.

5′′. Ecuación de Riccati.

Es de la forma

y′ + a(x)y + b(x)y^{2} = c(x).

El método requiere haber encontrado previamente una solución particular y_{p}(x). Si este es el caso, haciendo el cambio de función y = y_{p} + z, la E. D. de Riccati se reduce a una de Bernoulli con α = 2.

6. Sustituciones.

Cuando tenemos una E. D.

y′ = f(x, y)

que no responde a alguno de los tipos estudiados hasta ahora, a veces una sustitución (en esencia, un cambio de variable) más o menos ingeniosa transforma la ecuación en una reconocible. Lógicamente, no puede darse una regla general pero, en todo caso, merece la pena intentar algo.

• ECUACIONES EN LAS QUE LA DERIVADA APARECE IMPLÍCITAMENTE. Es decir, de la forma

F (x, y, y′) = 0.

7. F algebraica en y′ de grado n.

Tenemos

(y′)^{n} + a_{1}(x, y)(y′)^{n−1} + ⋯ + a_{n−1}(x, y)y′ + a_{n}(x, y) = 0.

Resolviéndolo como un polinomio en y′ de grado n igualado a cero obtenemos

(y′ − f_{1}(x, y))(y′ − f_{2}(x, y)) ⋯ (y′ − f_{n}(x, y)) = 0.

Por tanto, las soluciones de la E. D. de partida serán las soluciones de cada una de las ecuaciones y′ − f_{i}(x, y) = 0, i = 1, 2, …, n.

8. Ecuación de la forma y = f(x, y′).

En general, se toma y′ = p y se deriva la ecuación y = f(x, y′) respecto de x. Si f tiene la forma adecuada, a la nueva E. D. se le puede aplicar alguno de los métodos ya estudiados, procediéndose así a su resolución.

8.1. Cuando

y = f(y′),

la ecuación que se obtiene mediante el proceso anterior es de variables separadas. 8.2. Ecuación de Lagrange:

y + xφ(y′) + ψ(y′) = 0.

Se reduce a una ecuación lineal con x como función y p como variable. Además, para los λ tales que λ + φ(λ) = 0 se obtienen como soluciones las rectas y = λx − ψ(λ).

8.3. Ecuación de Clairaut:

y − xy′ + ψ(y′) = 0.

Es un caso particular de ecuación de Lagrange en el que sólo aparecen rectas (y su envolvente).

9. Ecuación de la forma x = f(y, y′).

En general, se toma y′ = p y se deriva la ecuación x = f(y, y′) respecto de y. Según como sea f, la nueva E. D. que así se obtiene es ya conocida, procediéndose a su resolución. Se pueden estudiar casos similares a los de la forma y = f(x, y′).

10. Ecuación de la forma F (y, y′) = 0.

Consideramos la curva F (α, β) = 0. Si encontramos una representación paramétrica α = φ(t), β = ψ(t), F (φ(t), ψ(t)) = 0, se hace el cambio de función y por t mediante y = φ(t), y′ = ψ(t). Así, derivando y = φ(t) respecto de x, aparece una ecuación en variables separadas.

• ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS QUE SE PUEDE REDUCIR EL ORDEN. Supongamos que tenemos la E. D.

F (x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0 con n > 1.

11. Ecuación de la forma F (x, y^{(k)}, …, y^{(n)}) = 0.

Mediante el cambio y^{(k)} = z se convierte en una ecuación de orden n − k.

11′. Ecuaciones lineales de orden superior.

Son de la forma

a_{n}(x)y^{(n)} + a_{n−1}(x)y^{(n−1)} + ⋯ + a_{1}(x)y′ + a_{0}(x)y = g(x).

Si logramos encontrar alguna solución y_{n}(x) de la lineal homogénea asociada, el cambio de función y = y_{n}z hace que la lineal se transforme en una del tipo anterior, cuyo orden se puede reducir. Así, aparece una nueva ecuación lineal, esta vez de orden n − 1.

12. Ecuación de la forma F (y, y′, …, y^{(n)}) = 0.

Hacemos el cambio y′ = p y transformamos la E. D. en una nueva dependiendo de y, p y las derivadas de p respecto de y. Esta es de orden n − 1.

12′. Si la ecuación F (x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0 es tal que, para α y m fijos, F cumple

F (λx, λ^{m}u_{0}, λ^{m−1}u_{1}, …, λ^{m−n}u_{n}) = λ^{α}F (x, u_{0}, u_{1}, …, u_{n}),

haciendo el cambio x = e^{t}, y = e^{mt}z la E. D. se transforma en una de la forma G(z, z′, …, z^{(n)}) = 0, a la que se puede aplicar el método anterior.

13. Si la ecuación F (x, y, y′, …, y^{(n)}) = 0 es tal que, para α fijo, F cumple

F (x, λu_{0}, λu_{1}, …, λu_{n}) = λ^{α}F (x, u_{0}, u_{1}, …, u_{n}),

entonces el cambio de función dado por y′ = yz (es decir, y = exp(∫ z dx)) hace que el orden se reduzca en uno.

\begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix} Juan Luis Varona, 1995

Dpto. de Matemáticas y Computación Universidad de La Rioja