2  Cuerpos e ideas platónicas

En el lenguaje cotidiano se entiende que un polígono es una región del plano determinada por un número finito de segmentos. Estos segmentos se denominan lados o aristas y sus extremos vértices del polígono. El polígono se llama regular si todos sus lados son iguales y todos los ángulos determinados por las aristas en los vértices también son iguales. Se dice que el polígono es convexo si es una región convexa; es decir, que el segmento que une dos puntos cualesquiera de la región está contenido en ella. De modo análogo, pensando en el espacio tridimensional, se dice que un poliedro es un cuerpo sólido limitado por una superficie que consta de un número finito de polígonos no coplanarios a los que se denomina caras del poliedro. Se llama regular si sus caras son polígonos regulares iguales y se dice que es convexo si es una región convexa. De forma parecida puede pensarse en dimensiones sucesivamente mayores para obtener lo que comúnmente se llaman politopos, y en particular los politopos regulares y convexos, cuya existencia y número están bien determinados [5].

En este trabajo muchas veces la palabra poliedro o estructura poliedral se utilizará en un sentido más general para nombrar espacios construidos con piezas sencillas, de diversas dimensiones, llamadas celdas (copias topológicas de discos de la correspondiente dimensión). Se forman a partir de un espacio discreto de puntos (0-celdas), al que se le va pegando sucesivamente una colección (quizás vacía) de celdas, de dimensión cada vez mayor, por los bordes de éstas. Estas estructuras poliedrales o poliedros generales pueden tener un número finito o infinito de piezas y en este último caso ser su dimensión finita o infinita. Muchos de los objetos matemáticos que se estudian en Geometría, Topología y otras áreas tienen esta estructura. Entre los más sencillos se encuentran los polígonos y poliedros geométricos descritos al inicio de esta sección, que han sido utilizados y estudiados desde la antigüedad. Hace aproximadamente dos mil cuatrocientos años ya se conocía que únicamente existen cinco poliedros regulares convexos: el tetraedro (cuatro caras triangulares), el cubo o hexaedro (seis caras cuadradas), el octaedro (ocho caras triangulares), el dodecaedro (doce caras pentagonales) y el icosaedro (veinte caras triangulares). Véase la Figura 2 .

Los restos arqueológicos más antiguos en los que aparecen figuras poliedrales, de los que tenemos noticia, son unas piedras talladas del neolítico (aproximadamente 2000 a. C.) encontradas en Escocia, véase la Figura 1. También se conservan un par de dados icosaédricos de la época de la dinastía de Tolomeo en el Brithish Museum de Londres. Parece que este tipo de figuras geométricas ya tenían una utilidad lúdica como ocurre en la actualidad. Pensemos por ejemplo en los dados que se utilizan en juegos tan populares como el parchís o la oca que no son sino cubos; el dado del Scatergories es un icosaedro y en los juegos de rol se utilizan todo tipo de poliedros regulares.

Figura 1: Piedras del Neolítico

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En el libro XIII de los ``Elementos'', [12], de Euclides (300 a. C.) aparece la construcción de los cinco poliedros regulares; hay quien incluso sostiene que los Elementos no son sino una narración excelente de éstos. Se atribuye a Teeteto (417-369 a. C.), personaje que aparece en los Diálogos de Platón (400 a. C.) como símbolo de la inteligencia, la teoría de los cinco poliedros regulares.

A los cinco sólidos regulares se les llama Cuerpos Platónicos porque Platón en uno de sus dialogos más significativos, el ``Timeo'', en el que se explica la construcción del universo, establece una asociación entre ellos y los elementos fundamentales de los que éste está compuesto, que según sostenían los griegos estaba hecho con átomos de agua, aire, tierra y fuego.

Según lo que allí se expone, el mundo real es una copia imperfecta del mundo de las ideas hecha por el Demiurgo, ser inteligente y bueno al que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea en primer lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dándole forma esférica, la más perfecta) en cuyo centro está la Tierra. Después se ocupa de la materia con la que está hecho el mundo; se compone de cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua, que han de tener la propiedad de ser ``sólidos'' (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto que han de ser sólidos, esto es, limitados por planos y un plano está compuesto por piezas sencillas (triángulos), el Demiurgo elige de éstos los más bellos: el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas -catetos- iguales) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos. A partir de seis de estos últimos triángulos construye el triángulo equilátero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado y con seis de éstos el cubo.

Incluimos a continuación extractos literales del ``Timeo'' según la traducción castellana [23]:

``... Antes de la creación, por cierto, todo esto carecía de proporción y medida. Cuando dios se puso a ordenar el universo, primero dio forma y número al fuego, agua, tierra y aire, de los que, si bien había algunas huellas, se encontraban en el estado en que probablemente se halle todo cuando dios está ausente. Sea siempre esto lo que afirmamos en toda ocasión: que dios los compuso tan bellos y excelsos como era posible de aquello que no era así. Ahora, en verdad, debo intentar demostraros el orden y origen de cada uno de los elementos con un discurso poco habitual... En primer lugar, creo que para cualquiera está más allá de toda duda que fuego, tierra, agua y aire son cuerpos. Ahora bien, toda forma corporal tiene también profundidad. Y, además, es de toda necesidad que la superficie rodee la profundidad. La superficie de una cara plana está compuesta de triángulos. Todos los triángulos se desarrollan a partir de dos, cada uno con un ángulo recto y los otros agudos. Uno tiene a ambos lados una fracción de ángulo recto dividido por lados iguales, el otro partes desiguales de un ángulo recto atribuida a lados desiguales... suponemos que éste es el principio del fuego y de los otros cuerpos... Ciertamente, debemos explicar cuáles serían los cuatro cuerpos más perfectos, que, aunque disímiles entre sí, podrían nacer unos de otros cuando se desintegran. En efecto, si lo logramos, tendremos la verdad acerca del origen de la tierra y el fuego y de sus medios proporcionales. Pues no coincidiremos con nadie en que hay cuerpos visibles más bellos que éstos, de los que cada uno representa un género particular. Debemos, entonces, esforzarnos por componer estos cuatro géneros de cuerpos de extraordinaria belleza y decir que hemos captado su naturaleza suficientemente...''

Debe haber cuatro elementos por el siguiente razonamiento: las cosas deben tener fuego, puesto que se ven, y tierra, puesto que son materiales; dos cosas necesitan de una tercera para poder ser unidas. Si el universo fuese plano bastaría con un tercer elemento, pero, como tiene profundidad, necesita de otro más para poder hacer esta unión. Así, para unir el fuego y la tierra se precisan otros dos: el aire y el agua. Analizando las propiedades de los elementos y la proporción en la que deben estar en la naturaleza, llega a la conclusión de que los átomos de fuego son tetraedros, los de tierra son cubos, los de aire octaedros y los de agua icosaedros. Queda una única combinación, el dodecaedro, que lo reserva para el universo. En la Figura 2 mostramos los dibujos de Kepler basados en esa asociación.

Figura 2: Elementos y cuerpos platónicos

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En esencia, los integrantes más elementales son los triángulos rectángulos isósceles y los escalenos. Puesto que el fuego, el agua y el aire están integrados por escalenos, se pueden romper en sus escalenos y recombinarse entre sí de modo que se genera un ciclo de reacciones circular al no poderse crear una situación de equilibrio. De nuevo citamos palabras textuales de la traducción del ``Timeo'':

``... Debemos pensar que todas estas cosas son en verdad tan pequeñas que los elementos individuales de cada clase nos son invisibles por su pequeñez, pero cuando muchos se aglutinan, se pueden observar sus masas y, también, que en todas partes dios adecuó la cantidad, movimientos y otras características de manera proporcional y que todo lo hizo con la exactitud que permitió de buen grado y obediente la necesidad. A partir de todo aquello cuyos géneros hemos descrito antes, muy probablemente se daría lo siguiente. Cuando el fuego choca con la tierra y con su agudeza la disuelve, ésta se trasladaría, ya sea que se hubiera diluido en el mismo fuego o en una masa de aire o de agua, hasta que sus partes se reencontraran en algún lugar, se volvieran a unir unas con otras y se convirtieran en tierra -pues nunca pasarían a otra especie-, pero si el agua es partida por el fuego, o también por el aire, es posible que surjan un cuerpo de fuego y dos de aire. Cuando se disuelve una porción de aire, sus fragmentos darían lugar a dos cuerpos de fuego. A la inversa, cuando el fuego, rodeado por el aire o el agua o alguna tierra, poco entre muchos, se mueve entre sus portadores, lucha y, vencido, se quiebra; dos cuerpos de fuego se combinan en una figura de aire; mas cuando el aire es vencido y fragmentado, de dos partes y media se forjará una figura entera de agua.''

Una mirada rápida sobre estas ideas platónicas quizás nos haga sonreír, pero una reflexión algo más profunda sobre ellas nos hace pensar cómo han influido a lo largo de la historia y hasta qué punto están vigentes en la actualidad. En nuestra opinión, contienen tres principios que han tenido y tienen gran importancia en el desarrollo de la ciencia: Unión entre ciencia y belleza, aplicación de objetos y reglas matemáticas conocidas a entidades o procesos desconocidos (asociación de los poliedros a entidades cósmicas) y construcción de la complejidad a partir de elementos simples.

En relación con el primer principio recogemos la frase de G.H. Hardy [16] referida a las matemáticas:

``Los diseños del matemático, como los del pintor o el poeta, han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras, deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas''.

La unión de ciencia y belleza, simbolizada en polígonos y poliedros, ha sido una constante en la obra de muchos científicos y artistas. Una muestra la tenemos en la construcción que Euclides hace del pentágono regular, en el que la diagonal y el lado están en proporción áurea t: 1, siendo t = [(1+ 5)/ 2] el número áureo o la divina proporción, llamado así por la belleza que genera en los objetos que lo contienen. Por ejemplo, aparece este número en el dodecaedro, en el icosaedro y en la sucesiva división de un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea, que da lugar a un cuadrado y a otro rectángulo áureo. Uniendo mediante trozos de circunferencia los vértices opuestos de los cuadrados que se van obteniendo, aparece la espiral áurea, que es la característica de algunas de las más bellas caracolas.

Tanto en la pintura como en la escultura y en la arquitectura esta proporción se ha mantenido a lo largo de la historia como canon de belleza. Citaremos sólo algunos edificios enormemente singulares como el Partenón de la Acrópolis ateniense o la iglesia de Notre Dame de París en los que casi cualquier rectángulo que se puede distinguir en ellos es un rectángulo áureo. La fachada de la sede de las Naciones Unidas en Nueva York está formada por tres grandes rectángulos, cada uno de los cuales es áureo. Otros objetos de uso común, como las tarjetas postales o de crédito, también son rectángulos áureos.

En 1202, Leonardo da Pisa (apodado Fibonacci) encontró su célebre sucesión de enteros,  {fn}: 1,1,2,3,5,8,13,21,... , en un estudio que realizaba sobre la cría de conejos. Esta sucesión está íntimamente ligada al número áureo, de tal forma que éste es el límite de la sucesión cuyos términos son los cocientes [(fn+1)/( fn)]. Los números de Fibonacci aparecen en estudios botánicos ligados a la filotaxia (disposición de las hojas) que presentan muchos árboles y frutos como la piña común, donde un cociente [(fn)/( fm)] marca la rotación que interviene en el paso de una hoja a otra o de una lámina a otra. Así, la naturaleza, al igual que muchos artistas, parece servirse en algunas de sus creaciones de proporciones en las que interviene el número áureo ligado al pentágono regular. No es de extrañar que la figura formada por las diagonales de un pentágono regular (pentagrama) fuese elegida por los pitagóricos como el símbolo de su secta.

Una muestra de la inclusión de figuras poliedrales en el arte podemos encontrarla en la obra del pintor y mosaicista florentino Paolo Ucello (1397-1475). En la Figura 3 puede verse un detalle del fresco titulado ``El Diluvio'', pintado por este artista en 1448, en el que aparece un joven luciendo un sombrero que es un toro poliedral. Esta misma figura del toro poliedral, junto con otras inspiradas en dibujos de Leonardo da Vinci de los que hablaremos enseguida, también aparecerá posteriormente en algunas de las bellísimas obras realizadas hacia el 1520 por Fra Giovanni da Verona. Se trata de unos maravillosos trabajos de marquetería obtenidos al unir pequeños trozos de madera de diferentes tonalidades (artesanía que aún se realiza en Italia). Véase la Figura 3.

Figura 3: Obras de P. Ucello y Fra Giovanni da Verona

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Mención especial merece el pintor y matemático Piero della Francesca (1416-1492), considerado actualmente como uno de los primeros artistas del renacimiento cuya fascinación por los poliedros les condujo a estudiar y desarrollar propiedades de antiguos y nuevos poliedros. Uno de sus libros, ``Libellus de quinque corpibus regularibus''(1480), conservado en la Biblioteca Vaticana, contiene la figura más antigua que conozcamos de un poliedro cuyas sesenta caras son pentágonos y hexágonos en la misma distribución que ahora se utiliza para construir balones de fútbol, véase la Figura 4. Más adelante resaltaremos la importancia de este poliedro concreto (uno de los denominados sólidos arquimedianos, al que Kepler [20] llamaría mucho más tarde icosaedro truncado porque puede obtenerse truncando un icosaedro en cada uno de sus vértices). Véase la Figura 5.

Figura 4: Dibujos de Piero della Francesca

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Figura 5: Trucando un icosaedro. Balón de futbol

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Parece que no sólo influido por los trabajos de Piero della Francesca, sino plagiándolos en parte, Fra Luca Pacioli (1445-1509) escribió un libro acerca de las maravillosas propiedades del número áureo titulado ``De divina proportione'', [22]. En este libro aparecen numerosas ilustraciones de poliedros con dibujos hechos por su amigo el gran artista Leonardo da Vinci (1452-1519). Es notable la atracción que sentía Leonardo por los poliedros, para los que construyó modelos de sus esqueletos, con tiras de madera como aristas, que dejaban huecos todo el interior del poliedro y las caras del mismo. Cuando un modelo así se observa en perspectiva con el ojo del observador muy pegado a una de las caras huecas, ésta aparece como un polígono grande que en su interior contiene el resto de las caras. Pintada esta configuración sobre un plano, es una buena representación en dos dimensiones del poliedro en cuestión, que se denomina diagrama de Schlegel del mismo. Los dibujos de Leonardo han sido una referencia y fuente de inspiración para numerosos artistas y científicos tanto de su época como posteriores. En la ilustración de la Figura 6 podemos contemplar el diseño de Leonardo de dos poliedros, uno de ellos el icosaedro truncado.

Figura 6: Dibujos de Leonardo da Vinci

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Muchas de las obras artísticas más importantes del renacimiento son tratados de perspectiva, de geometría proyectiva, importante parte de la Geometría a cuyo desarrollo contribuyeron de manera notable grandes artistas. En algunas de estas obras aparecen especialmente dibujados o esculpidos algunos poliedros; como ejemplo hemos elegido el grabado ``Melancolía'' de Durero (1471-1528), una de las obras que a nuestro entender simboliza mejor la unión de belleza y ciencia, véase la Figura 7A.

Figura 7A: Melancolí a de Durero

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Otra admirable muestra del desarrollo de ciencia y arte se encuentra en la espléndida Alhambra de Granada. En las paredes de este monumento árabe del siglo XIII pueden apreciarse diseños de fascinante belleza que presentan cada uno de los diecisiete grupos de simetría planos. Su influencia en otras obras artísticas es notable y como ejemplo pueden verse los trabajos del holandés M. C. Escher (1898-1972), donde, a diferencia de los anteriores, aparecen dibujos de animales o de humanos pero subyace el mismo espíritu de creación a través de la simetría. En [11] puede verse obras de este artista, muy vinculado a la geometría, en las que se observa tanto la influencia señalada como la de Leonardo para sus numerosas creaciones poliedrales, y la utilización también en su última etapa de modelos hiperbólicos.

Es bien conocida la utilización básica de figuras y estructuras poliedrales en obras de grandes artistas del siglo XX pertenecientes a diferentes movimientos artísticos, muchos de ellos enmarcados en el arte abstracto. Sugerimos al lector que observe algunas de las obras de Picaso, Dalí, Oteiza, etc. Hoy en día hay una corriente, muy ligada al mundo científico, cuyas obras representan figuras de poliedros o de sus deformaciones hasta conseguir creaciones bellas; numerosas referencias e ilustraciones de ellas pueden encontrarse en la página web de George Hart.

Otra de las ideas platónicas, la asociación de sólidos a entidades cósmicas, sigue presente en investigadores posteriores al ocuparse de la estructura del universo. Así, por ejemplo, la encontramos en los trabajos del gran astrónomo J. Kepler (1571-1630), quien, además de enunciar las tres leyes del movimiento planetario, sistematizó matemáticamente y desarrolló todo lo que se conocía en su época sobre poliedros. En un folleto de 1596 titulado ``El misterio Cósmico'', Kepler, hombre profundamente religioso a pesar de que llegó a ser excomulgado en 1612, escribe:

``... Antes de ser creado el universo, no existían los números excepto la Trinidad que es Dios mismo... Dado que la línea y el plano no implican ningún número, entonces reina la infinidad. Consideremos por lo tanto a los sólidos. Primero debemos eliminar a los sólidos irregulares dado que sólo estamos interesados en la creación ordenada; quedan por lo tanto seis cuerpos: la esfera y los cinco poliedros regulares. A la esfera corresponde el cielo exterior, mientras que el mundo dinámico está representado por los sólidos de cara plana, de los cuales existen cinco, los cuales a la vez (cuando son vistos como límite) determinan seis cosas diferentes: los seis planetas que giran alrededor del sol. Éste es el motivo por el cuál sólo hay seis planetas ...''

Más adelante asigna cada cuerpo platónico a un planeta con el siguiente argumento:

``... los sólidos regulares se dividen en dos grupos: tres en uno y dos en otro. Al grupo mayor pertenecen primero el cubo, segundo la pirámide, y finalmente el dodecaedro. Al segundo grupo pertenecen primero el octaedro y segundo el icosaedro. Lo mencionado explica porqué la parte más importante del universo, que es la Tierra -donde la imagen de Dios se refleja en el hombre-, separa a los dos grupos. Por consiguiente, como posteriormente procedo a demostrar, los sólidos del primer grupo deben hallarse fuera de la órbita de la Tierra, mientras que los del segundo grupo deben encontrarse dentro... por lo tanto, asigno el cubo a Saturno, el tetraedro a Júpiter, el dodecaedro a Marte, el icosaedro a Venus y el octaedro a Mercurio''.

Para reforzar su teoría, Kepler creó un modelo impresionante del universo, inspirado en los modelos vaciados de Leonardo, que muestra un cubo con un tetraedro inscrito en él, un dodecaedro inscrito en el tetraedro, un icosaedro inscrito en el dodecaedro, y finalmente un octaedro inscrito en el icosaedro; todos ellos separados por esferas. Este modelo ilustrado en la Figura 7B explicaba matemáticamente su teoría cosmológica, que inicialmente procedía de la teoría copernicana de órbitas circulares.

Figura 7B: Modelo Cósmico de Kepler

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Cabe preguntarse cómo habría modificado Kepler su visión del universo de haber sido descubiertos durante su vida el resto de planetas que hoy conocemos, pero lo que sí es cierto es que basándose en las numerosas observaciones de T. Brahe (del que fue ayudante), ampliándolas, construyendo nuevos modelos cósmicos poliedrales, estudiando sistemáticamente propiedades de los poliedros conocidos y descubriendo nuevos y trabajando duramente en lo que él denominó su ``guerra con Marte'' (determinación de la órbita), Kepler descubrió las tres leyes fundamentales del movimiento de los planetas. I. Newton (1642-1727) mostraría un siglo más tarde en sus ``Principia Matemática'' que estas tres leyes pueden ser deducidas matemáticamente, mediante métodos exclusivamente geométricos, de la ley de la gravitación.

Si en los trabajos de Kepler la idea básica es utilizar la ciencia para una mejor comprensión del universo, convencido de que Dios lo ha creado de acuerdo con un plan matemático, el propio Newton consideraba su obra como una explicación de las profecías del profeta Daniel. Con impulsos religiosos similares o diferentes, o sin ellos, lo cierto es que los científicos, siguiendo la pauta marcada por la asociación de poliedros a entidades cósmicas, continúan intentando explicar la forma del universo utilizando modelos, conceptos y teorías previamente desarrollados en Matemáticas.

La tercera idea que deseamos resaltar a partir de la asociación platónica, y que quizás sea la que más profundamente ha influido en el desarrollo de la ciencia es el pensamiento de que, sin entrar en otras consideraciones éticas, espirituales o morales, la materia, los seres orgánicos o vivos o los que son producto de nuestra imaginación están hechos de piezas elementales básicas que especialmente combinadas producen entes de una complejidad mucho mayor.

Este proceso es el que parece seguirse no sólo en la fabricación industrial o en la construcción de edificios, sino también en la creación celular de los seres vivos y a un nivel más profundo en la composición molecular y atómica, hasta el punto de que hoy en día muchos científicos sostienen que el universo está construido a partir de doce partículas elementales sobre las que actúan cuatro fuerzas fundamentales.

Por otra parte, este proceso de construcción a partir de elementos simples se aplica en ocasiones al análisis de la estructura del lenguaje o del pensamiento o en técnicas de aprendizaje y se encuentra en la base del desarrollo actual de la inteligencia artificial.

No es extraño, por tanto, que en la aproximación al estudio de la ``realidad'' conocida o desconocida, infinita o infinitesimal, en su posible diseño o modificación, las ``estructuras poliedrales'' aparezcan no sólo en campos meramente científicos o técnicos, sino también cuando se desean aplicar herramientas tecnológicas a otros ámbitos. En la siguiente sección, aunque sólo sea una pequeña muestra, exponemos algunos ejemplos de esta presencia poliedral en diversos campos.

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